Помогите с алгеброй
Уравнение: y=(x-4)^2
a) Определите координаты вершины параболы.
б) Запишите уравнение оси симметрии параболы.
в) Какова область определения функции?
г) Какова область значений функции?
д) Постройте график функции.
е) Как изменяется y, если аргумент x изменяется от -∞ до 2? от 2 до +∞?
ж) При каком x функция принимает наименьшее значение? Принимает ли функция наибольшее значение?
з) В каких точках график функции пересекает ось Ox? ось Oy?
ответ:
а) (4, 0)
б) x = 4
в) (-∞, +∞)
г) [0, +∞)
д) парабола с вершиной (4, 0), точки: (3, 1), (5, 1), (2, 4), (6, 4)
е) от -∞ до 2: убывает от +∞ до 4; от 2 до +∞: убывает от 4 до 0, потом растет до +∞
ж) y = 0 при x = 4; наибольшего нет
з) с Ox: (4, 0); с Oy: (0, 16)
решение:
дано уравнение y = (x - 4)^2. нужно найти вершину, ось симметрии, область определения, область значений, построить график, описать поведение y при изменении x и найти точки пересечения с осями. разберем все по порядку, используя свойства параболы y = a(x - h)^2 + k, где вершина в (h, k), а a показывает направление.
а) ищем вершину. сравниваем с общей формулой: y = (x - 4)^2 = 1·(x - 4)^2 + 0. тут h = 4, k = 0. значит, вершина в (4, 0).
б) ось симметрии — линия через вершину, перпендикулярная оси Ox. раз вершина при x = 4, то ось x = 4.
в) область определения — все x, при которых y считается. это квадрат, он работает для любых чисел. берем от -∞ до +∞.
г) область значений — какие y получаются. так как (x - 4)^2 всегда ≥ 0 (квадрат не бывает отрицательным), минимальное y = 0 при x = 4. а дальше y растет до +∞. итог: от 0 до бесконечности.
д) строим график. вершина (4, 0). возьмем точки: x = 3, y = (3 - 4)^2 = 1; x = 5, y = (5 - 4)^2 = 1; x = 2, y = (2 - 4)^2 = 4; x = 6, y = (6 - 4)^2 = 4. парабола симметрична относительно x = 4 и идет вверх.
е) смотрим, как меняется y. от -∞ до 2: x - 4 идет от -∞ до -2, квадрат падает от +∞ до 4, y убывает. от 2 до +∞: x - 4 от -2 до +∞, y сначала падает от 4 до 0 (при x = 4), потом растет до +∞.
ж) минимум y — в вершине, при x = 4, y = 0. максимума нет, парабола уходит вверх бесконечно.
з) пересечение с Ox: y = 0, (x - 4)^2 = 0, x = 4, точка (4, 0). с Oy: x = 0, y = (0 - 4)^2 = 16, точка (0, 16).
проверка: подставим x = 4 в уравнение — y = 0, вершина и пересечение с Ox сходятся. все логично.
Давайте разберем уравнение параболы y = (x - 4)^2 и ответим на все вопросы.
а) Определите координаты вершины параболы.
Уравнение параболы в виде y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины. В нашем случае y = (x - 4)^2 + 0.
Значит, вершина параболы находится в точке (4, 0).
б) Запишите уравнение оси симметрии параболы.
Ось симметрии проходит через вершину параболы и является вертикальной прямой. Уравнение оси симметрии: x = 4.
в) Какова область определения функции?
Область определения - это все возможные значения x, для которых функция определена. Для параболы, заданной таким уравнением, x может быть любым действительным числом.
Область определения: x ∈ (-∞, +∞) или x ∈ R (множество всех действительных чисел).
г) Какова область значений функции?
Область значений - это все возможные значения y, которые принимает функция. Так как (x - 4)^2 всегда неотрицательно (больше или равно нулю), а вершина находится в точке (4, 0), то наименьшее значение y равно 0.
Область значений: y ∈ [0, +∞).
д) Постройте график функции.
(К сожалению, я не могу построить график здесь. Но вот как он выглядит):
• Это парабола, ветви которой направлены вверх.
• Вершина находится в точке (4, 0).
• Ось симметрии: x = 4.
• График можно построить, взяв несколько точек x и рассчитав соответствующие значения y. Например:
• x = 0, y = (0 - 4)^2 = 16
• x = 2, y = (2 - 4)^2 = 4
• x = 6, y = (6 - 4)^2 = 4
• x = 8, y = (8 - 4)^2 = 16
е) Как изменяется y, если аргумент x изменяется от -∞ до 2? от 2 до +∞?
• От -∞ до 2: y убывает. Парабола "спускается" к вершине.
• От 2 до +∞: y сначала убывает до вершины (x=4), потом возрастает.
* от 2 до 4: y убывает.
* от 4 до +∞: y возрастает.
ж) При каком x функция принимает наименьшее значение? Принимает ли функция наибольшее значение?
• Наименьшее значение y = 0 функция принимает при x = 4 (в вершине параболы).
• Наибольшего значения функция не принимает. y может быть сколь угодно большим при x, стремящемся к +∞ или -∞.
з) В каких точках график функции пересекает ось Ox? ось Oy?
• Ось Ox: График пересекает ось Ox в точке, где y = 0. Это вершина параболы: (4, 0).
• Ось Oy: График пересекает ось Oy в точке, где x = 0.
• y = (0 - 4)^2 = 16. Точка пересечения с осью Oy: (0, 16).