Декартовы координаты на плоскости

Чтобы составить уравнение прямой, параллельной заданной прямой y = 4x - 5, и проходящей через центр заданной окружности, нам нужно:

Найти центр окружности.
Определить угловой коэффициент (наклон) параллельной прямой.
Использовать формулу уравнения прямой, зная угловой коэффициент и точку (центр окружности).
1. Находим центр окружности:

Преобразуем уравнение окружности x² - 8x + y² + 10y - 40 = 0 к виду (x - a)² + (y - b)² = R², где (a, b) - координаты центра окружности, а R - радиус. Используем метод выделения полных квадратов:

(x² - 8x) + (y² + 10y) = 40

(x² - 8x + 16) + (y² + 10y + 25) = 40 + 16 + 25

(x - 4)² + (y + 5)² = 81

Итак, центр окружности имеет координаты (4, -5).

2. Определяем угловой коэффициент параллельной прямой:

Поскольку прямая должна быть параллельной прямой y = 4x - 5, её угловой коэффициент будет таким же. Уравнение y = 4x - 5 имеет вид y = kx + b, где k - угловой коэффициент. Следовательно, угловой коэффициент параллельной прямой равен 4.

3. Составляем уравнение прямой:

Теперь у нас есть угловой коэффициент k = 4 и точка, через которую проходит прямая (центр окружности) - (4, -5). Используем формулу уравнения прямой в виде “уравнение прямой с угловым коэффициентом”:

y - y₁ = k(x - x₁)

Подставляем известные значения:

y - (-5) = 4(x - 4)

y + 5 = 4x - 16

y = 4x - 16 - 5

y = 4x - 21

Ответ: Уравнение прямой, параллельной y = 4x - 5 и проходящей через центр окружности x² - 8x + y² + 10y - 40 = 0, имеет вид:

y = 4x - 21