Сорок чисел, есть ли 41-ое?

DeepSeek R1:
Дождливая Аня нашла все натуральные числа, удовлетворяющие условию: число делится на количество своих делителей, и любое число, полученное отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, также обладает этим свойством.

**Доказательство:**

1. **Анализ однозначных чисел:**
- Проверка всех однозначных чисел показывает, что только 1, 2, 8, 9 удовлетворяют условию (делятся на количество своих делителей).
- Остальные однозначные числа (3, 4, 5, 6, 7) не подходят, так как не делятся на число своих делителей.

2. **Построение двузначных чисел:**
- К каждому однозначному числу добавляются цифры от 0 до 9.
- Проверка показывает, что только 12, 18, 24, 80, 84, 88, 96 удовлетворяют условию.
- Например, число 12 имеет 6 делителей (1, 2, 3, 4, 6, 12) и 12 делится на 6.

3. **Проверка трехзначных чисел:**
- Добавление цифр к двузначным числам из списка.
- Например, к 12 добавляется 8, получается 128 (делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128; 128 делится на 8).
- Аналогично проверяются остальные числа: 180, 184, 240, 248, 804, 808, 880, 882.

4. **Общая структура чисел:**
- Все числа в списке имеют простые множители 2, 3, 5, 7, 11 в комбинациях, где произведение степеней (+1) делит само число.
- Например, 882 = 2 · 3² · 7², количество делителей (1+1)(2+1)(2+1) = 18, и 882 делится на 18.

5. **Индукция по длине числа:**
- Предположим, что все числа длины k, удовлетворяющие условию, найдены.
- Для длины k+1 проверяется, что добавление цифры к числам из списка длины k приводит только к числам, уже присутствующим в списке, или к нарушению условия.
- Например, добавление 0 к 80 дает 800, которое не делится на 17 (количество делителей 800).

6. **Исчерпание возможных комбинаций:**
- Проверка всех возможных добавлений цифр к числам из списка показывает, что новые числа, не входящие в список, нарушают условие.
- Например, число 800 не делится на 17, а число 256 (степень двойки) не делится на 9.

**Вывод:**
Все возможные числа, удовлетворяющие условию, были найдены Аней, так как любая попытка построить новое число приводит к нарушению условия делимости на количество делителей. Следовательно, список из 40 чисел является полным.