Самостоятельная работа по геометрии

Задание 1
Дано:
Высота конуса \( h = 8 \, \text{см} \),
Угол между образующей и радиусом \( \alpha = 45^\circ \).

Решение:
Радиус конуса \( r \):
Так как угол между образующей \( l \) и радиусом \( r \) равен \( 45^\circ \), треугольник, образованный \( r \), \( h \) и \( l \), — равнобедренный прямоугольный.
\[
r = h = 8 \, \text{см}.
\]

Длина образующей \( l \):
По теореме Пифагора:
\[
l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2} \, \text{см}.
\]

Площадь основания \( S_{\text{осн}} \):
\[
S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi \, \text{см}^2.
\]

Площадь поверхности \( S_{\text{пов}} \):
\[
S_{\text{пов}} = \pi r (r + l) = \pi \cdot 8 \cdot (8 + 8\sqrt{2}) = 64\pi (1 + \sqrt{2}) \, \text{см}^2.
\]

Объём конуса \( V \):
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 64\pi \cdot 8 = \frac{512}{3}\pi \, \text{см}^3.
\]

Задание 2
Дано:
Радиус шара \( R = 3 \, \text{см} \).

Решение:
Объём шара \( V \):
\[
V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36\pi \, \text{см}^3.
\]

Площадь поверхности \( S \):
\[
S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi \, \text{см}^2.
\]

Длина большой окружности \( C \):
\[
C = 2\pi R = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \, \text{см}.
\]

Ответы:
Задание 1
Радиус: \( 8 \, \text{см} \),
Образующая: \( 8\sqrt{2} \, \text{см} \),
Площадь основания: \( 64\pi \, \text{см}^2 \),
Площадь поверхности: \( 64\pi (1 + \sqrt{2}) \, \text{см}^2 \),
Объём: \( \frac{512}{3}\pi \, \text{см}^3 \).

Задание 2
Объём шара: \( 36\pi \, \text{см}^3 \),
Площадь поверхности: \( 36\pi \, \text{см}^2 \),
Длина большой окружности: \( 6\pi \, \text{см} \).