Помогите с геометрией, контролльная

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника:

По теореме Пифагора: гипотенуза² = катет1² + катет2². В данном случае: гипотенуза² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Следовательно, гипотенуза = √169 = 13 см.

2. Высота равнобедренного треугольника:

Проведем высоту к основанию. Она разделит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника с катетами 4 см (половина основания) и высотой h. Гипотенуза равна 5 см (боковая сторона). По теореме Пифагора: 5² = 4² + h². 25 = 16 + h². h² = 9. h = 3 см.

3. Высота треугольника:

Здесь мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника, а затем найти высоту.

⦁ Полупериметр: (29 + 25 + 6)/2 = 30 см
⦁ Площадь по формуле Герона: √(30(30-29)(30-25)(30-6)) = √(3015*24) = √3600 = 60 см²
⦁ Высота: Площадь = (1/2) * основание * высота. 60 = (1/2) * 6 * высота. Высота = 20 см.

4. Площадь ромба:

Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей. Нам известна одна диагональ (24 см). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Его катеты равны 12 см (половина диагонали) и x (половина второй диагонали). Гипотенуза равна 13 см (сторона ромба).

По теореме Пифагора: 13² = 12² + x². 169 = 144 + x². x² = 25. x = 5 см. Вторая диагональ равна 10 см.

Площадь ромба = (1/2) * 24 * 10 = 120 см².

5. Тригонометрические функции:

Для прямоугольного треугольника ABC (прямой угол С):

⦁ a) AC = 4, AB = 5: BC = √(AB² - AC²) = √(25 - 16) = 3.
⦁ sin A = BC/AB = 3/5; cos A = AC/AB = 4/5; tan A = BC/AC = 3/4.
⦁ sin B = AC/AB = 4/5; cos B = BC/AB = 3/5; tan B = AC/BC = 4/3.

⦁ б) AC = 15, BC = 8: AB = √(AC² + BC²) = √(225 + 64) = √289 = 17.
⦁ sin A = BC/AB = 8/17; cos A = AC/AB = 15/17; tan A = BC/AC = 8/15.
⦁ sin B = AC/AB = 15/17; cos B = BC/AB = 8/17; tan B = AC/BC = 15/8.

⦁ в) BC = 6√3, AB = 12: AC = √(AB² - BC²) = √(144 - 108) = √36 = 6.
⦁ sin A = BC/AB = (6√3)/12 = √3/2; cos A = AC/AB = 6/12 = 1/2; tan A = BC/AC = √3.
⦁ sin B = AC/AB = 6/12 = 1/2; cos B = BC/AB = (6√3)/12 = √3/2; tan B = AC/BC = 1/√3.

6. Другой катет и гипотенуза:

В прямоугольном треугольнике:

⦁ a) b = 10, ∠B = 45°: Это равнобедренный прямоугольный треугольник. Другой катет также равен 10, гипотенуза = 10√2.

⦁ б) b = 15, ∠B = 60°: Если катет b противолежит углу B, то:
⦁ Другой катет = b / tan B = 15 / tan 60° = 15 / √3 = 5√3.
⦁ Гипотенуза = b / sin B = 15 / sin 60° = 15 / (√3/2) = 10√3.

⦁ в) b = 3√3, ∠B = 30°: Если катет b противолежит углу B, то:
⦁ Другой катет = b * tan B = 3√3 * tan 30° = 3√3 * (1/√3) = 3.
⦁ Гипотенуза = b / sin B = 3√3 / sin 30° = 3√3 / (1/2) = 6√3.