ПОМОГИТЕ С АЛГЕБРОЙ!!!!!
Все коэффициенты ненулевых многочленов R(x) и Q(x) — целые числа, а все коэффициенты ненулевого многочлена P(x) — натуральные числа. При этом сумма коэффициентов многочлена P(x)Q(x)+R(x) равна 6, а сумма коэффициентов многочлена P(x)R(x)+Q(x) равна 1. Чему может быть равно значение многочлена P(x) в точке 1?
Давайте решим эту задачу пошагово:
1) Обозначим:
- P(1) = p
- Q(1) = q
- R(1) = r
2) По условию:
- Сумма коэффициентов многочлена равна значению многочлена в точке 1
- p, q, r - целые числа (так как коэффициенты Q(x) и R(x) целые)
- p > 0 (так как коэффициенты P(x) натуральные)
3) Из условия получаем систему:
{ pq + r = 6
{ pr + q = 1
4) Выразим q из второго уравнения:
q = 1 - pr
5) Подставим в первое:
p(1 - pr) + r = 6
p - p²r + r = 6
r(1 - p²) = 6 - p
6) Так как r - целое число, то (6 - p) должно делиться на (1 - p²).
7) Рассмотрим возможные значения p:
- p = 1: деление на 0
- p = 2: (6-2)/(1-4) = -4/(-3) = 4/3 - не целое
- p = 3: (6-3)/(1-9) = -3/8 - не целое
- p = 4: (6-4)/(1-16) = -2/15 - не целое
- p = 5: (6-5)/(1-25) = -1/24 - не целое
- p = 6: (6-6)/(1-36) = 0 - подходит
8) При p = 6:
- 6 - p = 0
- 1 - p² = -35
- 0 делится на -35
9) Проверим, что это решение действительно возможно:
- p = 6
- q = 1 - pr = 1 - 6r
- r = любое целое число
- pq + r = 6(1 - 6r) + r = 6 - 36r + r = 6 - 35r = 6 при r = 0
- pr + q = 6r + (1 - 6r) = 1
Ответ: P(x) в точке 1 может быть равно 6.
Это единственное возможное значение, так как при других натуральных p выражение (6-p)/(1-p²) не даёт целого числа, что противоречит условию целочисленности r.
Замечу только, что максимальную степень многочлена n определим из неравенства P(5)=5**n<=152, потому что все многочлены с ненулевыми коэффициентами при бОльшей степени будут иметь P(5) > 152. Ясно что n=3 (Р(5)=125) ещё подходит, а n>=4 уже не подходят, поскольку P(5) >152. Значит рассматривать можно только многочлен вида ax**3 +bx**2 + cx +d. Более того, рассматривать можно только два случая: а=0 и a=1, ибо при a>=2 снова P(5) уже будет превышать 152.