Срочно нужно решение интегралов

2 в дневник

Тут нет интегралов

Конечно, помогу с решением этих интегралов и постараюсь описать, как выглядят графики. Важно понимать, что я вычисляю площадь, ограниченную этими кривыми.

1. y = x² , y = 0, x = 4

Описание: Парабола y = x², ось x (y = 0) и вертикальная линия x = 4. Нам нужна площадь под параболой от x = 0 до x = 4.

Решение: Интеграл:

∫[от 0 до 4] x² dx = [x³/3] [от 0 до 4] = (4³/3) - (0³/3) = 64/3

Ответ: 64/3 ≈ 21.33

Рисунок (описание): Парабола, ветви вверх, вершина в (0,0). Заштрихована область между параболой, осью x и линией x = 4.

2. y = sin(x), y = 0, x = π/2

Описание: Синусоида y = sin(x) и ось x (y = 0) от x = 0 до x = π/2. Нам нужна площадь под синусоидой на этом интервале.

Решение: Интеграл:

∫[от 0 до π/2] sin(x) dx = [-cos(x)] [от 0 до π/2] = (-cos(π/2)) - (-cos(0)) = 0 - (-1) = 1

Ответ: 1

Рисунок (описание): График синуса от 0 до π/2. Заштрихована область между синусоидой и осью x.

3. y = 0, x = 4, y = √x

Описание: Ось x (y = 0), вертикальная линия x = 4 и кривая y = √x. Нам нужна площадь под кривой y = √x от x = 0 до x = 4.

Решение: Интеграл:

∫[от 0 до 4] √x dx = ∫[от 0 до 4] x^(1/2) dx = [(2/3)x^(3/2)] [от 0 до 4] = (2/3)(4^(3/2)) - (2/3)(0^(3/2)) = (2/3) * 8 = 16/3

Ответ: 16/3 ≈ 5.33

Рисунок (описание): График квадратного корня от 0 до 4. Заштрихована область между кривой, осью x и линией x = 4.

4. y = 1 - x², y = -x - 1

Описание: Парабола y = 1 - x² (ветви вниз) и прямая y = -x - 1. Сначала нужно найти точки пересечения этих кривых.
Решение:
Находим точки пересечения: 1 - x² = -x - 1 x² - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0 x = 2 или x = -1

Интеграл:

∫[от -1 до 2] ((1 - x²) - (-x - 1)) dx = ∫[от -1 до 2] (2 + x - x²) dx = [2x + (x²/2) - (x³/3)] [от -1 до 2]

= (4 + 2 - 8/3) - (-2 + 1/2 + 1/3) = (6 - 8/3) - (-3/2 + 1/3) = (18/3 - 8/3) - (-9/6 + 2/6) = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2

Ответ: 9/2 = 4.5
Рисунок (описание): Парабола, ветви вниз, пересекает ось y в точке (0,1). Прямая с отрицательным наклоном. Заштрихована область между параболой и прямой от x = -1 до x = 2.

1 2