Алгебра 10-й класс

а) (3 + 4cos(2x) - 8cos⁴(x))/(sin(2x)-cos(2x)) = 1/sin(2x)

одз: sin(2x) ≠ cos(2x) (т.е. x ≠ π/8 + πk/2) и sin(2x) ≠ 0 (т.е. x ≠ πn/2).

упрощаем числитель: 3 + 4(2cos²x - 1) - 8cos⁴x = -1 + 8cos²x - 8cos⁴x = -(1 - 8cos²x + 8cos⁴x) = -cos(4x).

уравнение: -cos(4x) / (sin(2x) - cos(2x)) = 1 / sin(2x).
умножаем: -cos(4x)sin(2x) = sin(2x) - cos(2x).
cos(2x) - sin(2x) = cos(4x)sin(2x).
cos(2x) - sin(2x) = (cos²(2x) - sin²(2x))sin(2x).
cos(2x) - sin(2x) = (cos(2x) - sin(2x))(cos(2x) + sin(2x))sin(2x).

случай 1: cos(2x) - sin(2x) = 0 => tan(2x) = 1 => x = π/8 + πk/2. не входит в одз.
случай 2: делим на cos(2x) - sin(2x):
1 = (cos(2x) + sin(2x))sin(2x)
1 = cos(2x)sin(2x) + sin²(2x)
1 = (1/2)sin(4x) + (1 - cos(4x))/2
2 = sin(4x) + 1 - cos(4x)
sin(4x) - cos(4x) = 1.

решаем sin(4x) - cos(4x) = 1:
√2 * ( (1/√2)sin(4x) - (1/√2)cos(4x) ) = 1
√2 * sin(4x - π/4) = 1
sin(4x - π/4) = 1/√2.

решения для синуса:

4x - π/4 = π/4 + 2πn => 4x = π/2 + 2πn => x = π/8 + πn/2. не подходит по одз.

4x - π/4 = 3π/4 + 2πn => 4x = π + 2πn => x = π/4 + πn/2. подходит по одз.

ответ а): x = π/4 + πn/2, n ∈ z.

б) (cos(5x) + sin(3x))/(cos(3x) + sin(x)) = 1

одз: cos(3x) + sin(x) ≠ 0.

решаем:
cos(5x) + sin(3x) = cos(3x) + sin(x)
cos(5x) - cos(3x) = sin(x) - sin(3x)
-2sin(4x)sin(x) = 2cos(2x)sin(-x)
-2sin(4x)sin(x) = -2cos(2x)sin(x)
2sin(x)(cos(2x) - sin(4x)) = 0
2sin(x)(cos(2x) - 2sin(2x)cos(2x)) = 0
2sin(x)cos(2x)(1 - 2sin(2x)) = 0.

три случая:

sin(x) = 0 => x = πk, k ∈ z. проверка одз: cos(3πk) + sin(πk) = ±1 ≠ 0. подходит.

cos(2x) = 0 => 2x = π/2 + πn => x = π/4 + πn/2, n ∈ z. проверка одз: cos(3(π/4+πn/2)) + sin(π/4+πn/2). при четных n (n=2j, x=π/4+πj) знаменатель 0, не подходит. при нечетных n (n=2j+1, x=3π/4+πj) знаменатель ±√2 ≠ 0, подходит. итак, оставляем x = 3π/4 + πj, j ∈ z.

1 - 2sin(2x) = 0 => sin(2x) = 1/2.
а) 2x = π/6 + 2πm => x = π/12 + πm, m ∈ z. проверка одз: cos(π/4+3πm) + sin(π/12+πm) ≠ 0. подходит.
б) 2x = 5π/6 + 2πm => x = 5π/12 + πm, m ∈ z. проверка одз: cos(5π/4+3πm) + sin(5π/12+πm) ≠ 0. подходит.

ответ б): x = πk; x = 3π/4 + πj; x = π/12 + πm; x = 5π/12 + πm, где k, j, m ∈ z.