Доказать тождество. Алгебра 10 класс

преобразуем левую часть равенства.

разность тангенса и котангенса:
tg(a) - ctg(a) = sin(a)/cos(a) - cos(a)/sin(a)
приводим к общему знаменателю sin(a)cos(a):
= (sin^2(a) - cos^2(a)) / (sin(a)cos(a))
в числителе формула косинуса двойного угла с минусом: sin^2(a) - cos^2(a) = -cos(2a)
в знаменателе формула синуса двойного угла: sin(a)cos(a) = (1/2)sin(2a)
получаем:
= -cos(2a) / ((1/2)sin(2a)) = -2cos(2a)/sin(2a)

второй множитель:
1 - cos(4a)
используем формулу 1 - cos(2x) = 2sin^2(x), где x = 2a:
1 - cos(4a) = 2sin^2(2a)

перемножаем полученные выражения:
(tg(a) - ctg(a))(1 - cos(4a)) = (-2cos(2a)/sin(2a)) * (2sin^2(2a))
если sin(2a) не равен нулю (что нужно для существования tg(a) и ctg(a)), можем сократить sin(2a):
= -2cos(2a) * 2sin(2a)
= -4sin(2a)cos(2a)

мы преобразовали левую часть к виду -4sin(2a)cos(2a).