Как в кольце найти неполное частное и остаток от деления?

делим f(x) = 3̄x⁴ + 1̄x³ + 0̄x² + 2̄x + 1̄ на g(x) = 1̄x² + 2̄x + 3̄ в z₄[x].

делим старший член 3̄x⁴ на старший член 1̄x²:
(3̄x⁴) / (1̄x²) = 3̄x². это первый член частного.

умножаем 3̄x² на делитель g(x):
3̄x² * (1̄x² + 2̄x + 3̄) = 3̄x⁴ + (3̄2̄)x³ + (3̄3̄)x² = 3̄x⁴ + 6̄x³ + 9̄x²
по модулю 4 это равно 3̄x⁴ + 2̄x³ + 1̄x².

вычитаем результат из f(x):
(3̄x⁴ + 1̄x³ + 0̄x² + 2̄x + 1̄) - (3̄x⁴ + 2̄x³ + 1̄x²)
= (3̄-3̄)x⁴ + (1̄-2̄)x³ + (0̄-1̄)x² + 2̄x + 1̄
= 0̄x⁴ + (-1̄)x³ + (-1̄)x² + 2̄x + 1̄
по модулю 4 это равно 3̄x³ + 3̄x² + 2̄x + 1̄ (так как -1 ≡ 3 mod 4).

делим старший член нового многочлена 3̄x³ на старший член 1̄x²:
(3̄x³) / (1̄x²) = 3̄x. это второй член частного.

умножаем 3̄x на делитель g(x):
3̄x * (1̄x² + 2̄x + 3̄) = 3̄x³ + (3̄2̄)x² + (3̄3̄)x = 3̄x³ + 6̄x² + 9̄x
по модулю 4 это равно 3̄x³ + 2̄x² + 1̄x.

вычитаем результат из 3̄x³ + 3̄x² + 2̄x + 1̄:
(3̄x³ + 3̄x² + 2̄x + 1̄) - (3̄x³ + 2̄x² + 1̄x)
= (3̄-3̄)x³ + (3̄-2̄)x² + (2̄-1̄)x + 1̄
= 0̄x³ + 1̄x² + 1̄x + 1̄.

делим старший член нового многочлена 1̄x² на старший член 1̄x²:
(1̄x²) / (1̄x²) = 1̄. это третий член частного.

умножаем 1̄ на делитель g(x):
1̄ * (1̄x² + 2̄x + 3̄) = 1̄x² + 2̄x + 3̄.

вычитаем результат из 1̄x² + 1̄x + 1̄:
(1̄x² + 1̄x + 1̄) - (1̄x² + 2̄x + 3̄)
= (1̄-1̄)x² + (1̄-2̄)x + (1̄-3̄)
= 0̄x² + (-1̄)x + (-2̄)
по модулю 4 это равно 3̄x + 2̄ (так как -1 ≡ 3 mod 4, -2 ≡ 2 mod 4).

степень остатка 3̄x + 2̄ (степень 1) меньше степени делителя 1̄x² + 2̄x + 3̄ (степень 2), деление закончено.

неполное частное q(x) = 3̄x² + 3̄x + 1̄.
остаток r(x) = 3̄x + 2̄.

Для нахождения неполного частного и остатка от деления в кольце, нужно разделить делимое на делитель, а затем вычислить остаток от деления.