Исследовать функцию и построить график функции y=(x-4)(x-1)^2

Исследование функции y = (x - 4)(x - 1)² и построение графика
Рассмотрим функцию y = (x - 4)(x - 1)² и проведём её полное исследование для построения графика.

1. Область определения:

Функция является многочленом (полиномом), поэтому определена на всей числовой прямой.
D(y) = (-∞; +∞)
2. Нули функции (точки пересечения с осью Ox):

Найдём значения x, при которых y = 0.

(x - 4)(x - 1)² = 0

x - 4 = 0 или (x - 1)² = 0

x = 4 или x = 1

x = 1 - корень кратности 2 (касание оси Ox).

x = 4 - корень кратности 1 (пересечение оси Ox).

Точки пересечения с осью Ox: (1; 0), (4; 0).

3. Пересечение с осью Oy:

Найдём значение y при x = 0.
y = (0 - 4)(0 - 1)² = (-4)(1) = -4
Точка пересечения с осью Oy: (0; -4).
4. Чётность/нечётность:

Вычислим y(-x) и сравним с y(x):
y(-x) = (-x - 4)(-x - 1)² = -(x + 4)(x + 1)²
y(x) = (x - 4)(x - 1)²
Так как y(-x) ≠ y(x) и y(-x) ≠ -y(x), функция не является ни чётной, ни нечётной. Функция общего вида.
5. Производная и экстремумы:

Найдём первую производную функции y’(x). Сначала раскроем скобки, чтобы упростить дифференцирование:

y(x) = (x - 4)(x² - 2x + 1) = x³ - 2x² + x - 4x² + 8x - 4 = x³ - 6x² + 9x - 4

y’(x) = 3x² - 12x + 9

Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

3x² - 12x + 9 = 0

x² - 4x + 3 = 0

(x - 1)(x - 3) = 0

x = 1 или x = 3

Критические точки: x = 1, x = 3.

Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти точки экстремума:

Интервал (-∞; 1): y’(0) = 9 > 0 (функция возрастает)

Интервал (1; 3): y’(2) = 3(4) - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0 (функция убывает)

Интервал (3; +∞): y’(4) = 3(16) - 12(4) + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 (функция возрастает)

x = 1: Точка максимума (функция меняет возрастание на убывание). y(1) = 0. Точка максимума: (1; 0).

x = 3: Точка минимума (функция меняет убывание на возрастание). y(3) = (3 - 4)(3 - 1)² = (-1)(2)² = -4. Точка минимума: (3; -4).

6. Вторая производная и точки перегиба:

Найдём вторую производную функции y”(x):

y”(x) = 6x - 12

Найдём точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:

6x - 12 = 0

6x = 12

x = 2

Определим знаки второй производной на интервалах:

Интервал (-∞; 2): y”(0) = -12 < 0 (функция выпукла вверх)

Интервал (2; +∞): y”(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 (функция выпукла вниз)

x = 2: Точка перегиба (функция меняет выпуклость). y(2) = (2 - 4)(2 - 1)² = (-2)(1) = -2. Точка перегиба: (2; -2).

7. Асимптоты:

Так как функция является многочленом, вертикальных и наклонных асимптот нет.
8. Таблица значений:

Составим таблицу значений функции, используя найденные точки:

x y Описание
-1 -25
0 -4 Пересечение с осью Oy
1 0 Точка максимума, корень (касание оси Ox)
2 -2 Точка перегиба
3 -4 Точка минимума
4 0 Корень (пересечение оси Ox)
5 4
9. Построение графика:

Теперь, используя все полученные данные, можно построить график функции:

Отметьте на координатной плоскости точки пересечения с осями: (1; 0), (4; 0), (0; -4).
Отметьте точки экстремумов: (1; 0) (максимум), (3; -4) (минимум).
Отметьте точку перегиба: (2; -2).
Нарисуйте кривую, учитывая, что:
Функция возрастает на (-∞; 1) и (3; +∞).
Функция убывает на (1; 3).
Функция выпукла вверх на (-∞; 2).
Функция выпукла вниз на (2; +∞).
График должен плавно проходить через отмеченные точки, касаясь оси Ox в точке x = 1 и пересекая её в точке x = 4.
В итоге:

Вы должны получить график, похожий на кубическую параболу, касающуюся оси Ox в точке (1; 0), пересекающую ось Ox в точке (4; 0), пересекающую ось Oy в точке (0; -4), с максимумом в точке (1; 0), минимумом в точке (3; -4) и точкой перегиба в точке (2; -2).