ПОМОГИТЕ СРОЧНО С НЕРАВЕНСТВАМИ!

^_^

Решаем неравенства методом интервалов.
(x - 4)(x + 10) >= 0
Находим корни: x = 4, x = -10.
Отмечаем точки -10 и 4 на числовой прямой (точки включены).
Интервалы: (-∞, -10], [-10, 4], [4, +∞).
Знаки на интервалах: +, -, +.
Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство >= 0.
Решение: x ∈ (-∞, -10] ∪ [4, +∞).
(x + 6)(x - 15) < 0
Находим корни: x = -6, x = 15.
Отмечаем точки -6 и 15 на числовой прямой (точки выколоты).
Интервалы: (-∞, -6), (-6, 15), (15, +∞).
Знаки на интервалах: +, -, +.
Выбираем интервал со знаком "-", так как неравенство < 0.
Решение: x ∈ (-6, 15).
(x - 20)(4 - x) > 0
Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: (x - 20)(x - 4) < 0.
Находим корни: x = 20, x = 4.
Отмечаем точки 4 и 20 на числовой прямой (точки выколоты).
Интервалы: (-∞, 4), (4, 20), (20, +∞).
Знаки для (x - 20)(x - 4): +, -, +.
Выбираем интервал со знаком "-", так как неравенство (x - 20)(x - 4) < 0.
Решение: x ∈ (4, 20).
(x - 5)(x + 13) <= 0
Находим корни: x = 5, x = -13.
Отмечаем точки -13 и 5 на числовой прямой (точки включены).
Интервалы: (-∞, -13], [-13, 5], [5, +∞).
Знаки на интервалах: +, -, +.
Выбираем интервал со знаком "-", так как неравенство <= 0.
Решение: x ∈ [-13, 5].
x² - 17x < 0
Факторизуем: x(x - 17) < 0.
Находим корни: x = 0, x = 17.
Отмечаем точки 0 и 17 на числовой прямой (точки выколоты).
Интервалы: (-∞, 0), (0, 17), (17, +∞).
Знаки для x(x - 17): +, -, +.
Выбираем интервал со знаком "-", так как неравенство < 0.
Решение: x ∈ (0, 17).

1. (x - 4)(x + 10) >= 0

Находим нули:
x - 4 = 0 => x = 4
x + 10 = 0 => x = -10
Рисуем числовую прямую: Отмечаем на ней точки -10 и 4. Эти точки разбивают прямую на три интервала: (-∞, -10], [-10, 4], [4, +∞).
Определяем знаки на каждом интервале:
x < -10: Например, x = -11. Тогда (x - 4) < 0 и (x + 10) < 0, значит (x - 4)(x + 10) > 0.
-10 < x < 4: Например, x = 0. Тогда (x - 4) < 0 и (x + 10) > 0, значит (x - 4)(x + 10) < 0.
x > 4: Например, x = 5. Тогда (x - 4) > 0 и (x + 10) > 0, значит (x - 4)(x + 10) > 0.
Решение: Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю:
x <= -10 или x >= 4
Ответ: x ∈ (-∞, -10] ∪ [4, +∞)
2. (x + 6)(x - 15) < 0

Находим нули:
x + 6 = 0 => x = -6
x - 15 = 0 => x = 15
Рисуем числовую прямую: Отмечаем на ней точки -6 и 15.
Определяем знаки на каждом интервале:
x < -6: (x + 6) < 0, (x - 15) < 0, значит (x + 6)(x - 15) > 0.
-6 < x < 15: (x + 6) > 0, (x - 15) < 0, значит (x + 6)(x - 15) < 0.
x > 15: (x + 6) > 0, (x - 15) > 0, значит (x + 6)(x - 15) > 0.
Решение: Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля:
-6 < x < 15
Ответ: x ∈ (-6, 15)
3. (x - 20)(4 - x) > 0

Находим нули:
x - 20 = 0 => x = 20
4 - x = 0 => x = 4
Рисуем числовую прямую: Отмечаем на ней точки 4 и 20.
Определяем знаки на каждом интервале:
x < 4: (x - 20) < 0, (4 - x) > 0, значит (x - 20)(4 - x) < 0.
4 < x < 20: (x - 20) < 0, (4 - x) < 0, значит (x - 20)(4 - x) > 0.
x > 20: (x - 20) > 0, (4 - x) < 0, значит (x - 20)(4 - x) < 0.
Решение: Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля:
4 < x < 20
Ответ: x ∈ (4, 20)
4. (x - 5)(x + 13) <= 0

Находим нули:
x - 5 = 0 => x = 5
x + 13 = 0 => x = -13
Рисуем числовую прямую: Отмечаем на ней точки -13 и 5.
Определяем знаки на каждом интервале:
x < -13: (x - 5) < 0, (x + 13) < 0, значит (x - 5)(x + 13) > 0.
-13 < x < 5: (x - 5) < 0, (x + 13) > 0, значит (x - 5)(x + 13) < 0.
x > 5: (x - 5) > 0, (x + 13) > 0, значит (x - 5)(x + 13) > 0.
Решение: Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю:
-13 <= x <= 5
Ответ: x ∈ [-13, 5]
5. x² - 17x < 0

Выносим x за скобки:
x(x - 17) < 0
Находим нули:
x = 0
x - 17 = 0 => x = 17
Рисуем числовую прямую: Отмечаем на ней точки 0 и 17.
Определяем знаки на каждом интервале:
x < 0: x < 0, (x - 17) < 0, значит x(x - 17) > 0.
0 < x < 17: x > 0, (x - 17) < 0, значит x(x - 17) < 0.
x > 17: x > 0, (x - 17) > 0, значит x(x - 17) > 0.
Решение: Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля:
0 < x < 17
Ответ: x ∈ (0, 17)

Давайте решим каждое неравенство по очереди.

### 1. \((x - 4)(x + 10) \geq 0\)

**Корни уравнения:**
\[
x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4
\]
\[
x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10
\]

**Интервалы:**
- \(x < -10\): Подставим \(x = -11\): \((-11 - 4)(-11 + 10) = (-15)(-1) = 15 > 0\) — выполняется.
- \(-10 < x < 4\): Подставим \(x = 0\): \((0 - 4)(0 + 10) = (-4)(10) = -40 < 0\) — не выполняется.
- \(x > 4\): Подставим \(x = 5\): \((5 - 4)(5 + 10) = (1)(15) = 15 > 0\) — выполняется.

**Точки:**
\(x = -10\) и \(x = 4\) включаются, так как неравенство нестрогое.

**Ответ:**
\[
\boxed{(-\infty, -10] \cup [4, +\infty)}
\]

### 2. \((x + 6)(x - 15) < 0\)

**Корни уравнения:**
\[
x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6
\]
\[
x - 15 = 0 \Rightarrow x = 15
\]

**Интервалы:**
- \(x < -6\): Подставим \(x = -7\): \((-7 + 6)(-7 - 15) = (-1)(-22) = 22 > 0\) — не выполняется.
- \(-6 < x < 15\): Подставим \(x = 0\): \((0 + 6)(0 - 15) = (6)(-15) = -90 < 0\) — выполняется.
- \(x > 15\): Подставим \(x = 16\): \((16 + 6)(16 - 15) = (22)(1) = 22 > 0\) — не выполняется.

**Точки:**
Точки \(x = -6\) и \(x = 15\) не включаются, так как неравенство строгое.

**Ответ:**
\[
\boxed{(-6, 15)}
\]

### 3. \((x - 20)(4 - x) > 0\)

Перепишем неравенство:
\[
(x - 20)(4 - x) > 0 \quad \Rightarrow \quad -(x - 20)(x - 4) > 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 20)(x - 4) < 0
\]

**Корни уравнения:**
\[
x - 20 = 0 \Rightarrow x = 20
\]
\[
x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4
\]

**Интервалы:**
- \(x < 4\): Подставим \(x = 0\): \((0 - 20)(0 - 4) = (-20)(-4) = 80 > 0\) — не выполняется.
- \(4 < x < 20\): Подставим \(x = 10\): \((10 - 20)(10 - 4) = (-10)(6) = -60 < 0\) — выполняется.
- \(x > 20\): Подставим \(x = 21\): \((21 - 20)(21 - 4) = (1)(17) = 17 > 0\) — не выполняется.

**Точки:**
Точки \(x = 4\) и \(x = 20\) не включаются, так как неравенство строгое.

**Ответ:**
\[
\boxed{(4, 20)}
\]

### 4. \((x - 5)(x + 13) \leq 0\)

**Корни уравнения:**
\[
x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5
\]
\[
x + 13 = 0 \Rightarrow x = -13
\]

**Интервалы:**
- \(x < -13\): Подставим \(x = -14\): \((-14 - 5)(-14 + 13) = (-19)(-1) = 19 > 0\) — не выполняется.
- \(-13 < x < 5\): Подставим \(x = 0\): \((0 - 5)(0 + 13) = (-5)(13) = -65 < 0\) — выполняется.
- \(x > 5\): Подставим \(x = 6\): \((6 - 5)(6 + 13) = (1)(19) = 19 > 0\) — не выполняется.

**Точки:**
Точки \(x = -13\) и \(x = 5\) включаются, так как неравенство нестрогое.

**Ответ:**
\[
\boxed{[-13, 5]}
\]

### 5. \(x^2 - 17x < 0\)

Факторизуем:
\[
x(x - 17) < 0
\]

**Корни уравнения:**
\[
x = 0 \quad \text{и} \quad x = 17
\]

**Интервалы:**
- \(x < 0\): Подставим \(x = -1\): \((-1)(-1 - 17) = (-1)(-18) = 18 > 0\) — не выполняется.
- \(0 < x < 17\): Подставим \(x = 1\): \((1)(1 - 17) = (1)(-16) = -16 < 0\) — выполняется.
- \(x > 17\): Подставим \(x = 18\): \((18)(18 - 17) = (18)(1) = 18 > 0\) — не выполняется.

**Точки:**
Точки \(x = 0\) и \(x = 17\) не включаются, так как неравенство строгое.

**Ответ:**
\[
\boxed{(0, 17)}
\]