Геометрия 10 класс

Поскольку у тетраэдра угол ABC прямой, то угол ACBD есть диагональ тетраэдра. Рассмотрим боковую грань ABCD. Найдем длину боковой грани AC.
По теореме Пифагора для треугольника ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 7^2 + (7√5)^2
AC^2 = 49 + 245
AC^2 = 294
AC = √294 = 2√73
Теперь рассмотрим снова тетраэдр АBCD. Чтобы найти угол АCDB, найдем косинус этого угла.
cos(ACDB) = (AC^2 + BD^2 - CD^2) / (2 * AC * BD)
cos(ACDB) = ( (2√73)^2 + 7^2 - 7^2) / (2 * (2√73)*(7) )
cos(ACDB) = ( 4*73 + 49 - 49) / (14√73)
cos(ACDB) = 292 / (14√73)
cos(ACDB) = 2√73 / 14√73
cos(ACDB) = 2 / 14
cos(ACDB) = 1 / 7
ACDB = arccos(1/7) ≈ 81.79°

Таким образом, двугранный угол ACDB равен примерно 81.79°.

дано: тетраэдр abcd, ∠abc = 90°, ∠abd = 90°, ∠bdc = 90°, bd = 7, cd = 7, ac = 7√5.
найти: двугранный угол acdb.

решение:
из ∠abc = 90° и ∠abd = 90° следует, что ab перпендикулярно плоскости bcd.
в прямоугольном треугольнике bdc:
bc² = bd² + cd² = 7² + 7² = 49 + 49 = 98
bc = √98 = 7√2.

в прямоугольном треугольнике abc:
ac² = ab² + bc²
(7√5)² = ab² + (7√2)²
245 = ab² + 98
ab² = 245 - 98 = 147
ab = √147 = 7√3.

так как ab ⊥ пл. bcd, то ab ⊥ cd.
так как bd ⊥ cd (из ∠bdc = 90°) и ab ⊥ cd, то cd перпендикулярно плоскости abd.
значит, cd ⊥ ad.
поскольку ad ⊥ cd и bd ⊥ cd, то ∠adb - линейный угол искомого двугранного угла acdb.

в прямоугольном треугольнике abd (∠abd = 90°):
ab = 7√3, bd = 7.
tan(∠adb) = ab / bd = (7√3) / 7 = √3.
∠adb = 60° (ответ).