Top.Mail.Ru
Ответы
Аватар пользователя
Аватар пользователя
Аватар пользователя
Сборная Домашка
+1

Монету подбрасывают до тех пор, пока орел не выпадет три раза. Найдите математическое ожидание числа бросков

По дате
По рейтингу
Аватар пользователя
Знаток
3мес

2*3 = 6, потому что мат. ожидание обладает линейностью и у нас по сути 3 независимых испытания Бернулли, и для каждого из них нас интересует ровно один из 2^n исходов

Аватар пользователя
Мыслитель
3мес

См. ниже:

Аватар пользователя
Мыслитель
3мес

Для нахождения математического ожидания числа бросков монеты до появления трех орлов, можно воспользоваться методом состояний.

Обозначим E(n) как математическое ожидание числа бросков до получения n орлов.

Мы знаем, что:

- Если у нас уже имеется n орлов, то E(n) = 0, так как нам не нужно больше бросков.
- Если мы начинаем с 0 орлов, то:

E(0) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 * E(1)

Где:
- 1 — это обязательный бросок,
- 1/2 * E(0) — мы получаем решку (с вероятностью 1/2),
- 1/2 * E(1) — мы получаем орла (с вероятностью 1/2).

Точно так же:

E(1) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 * E(2)
E(2) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 * E(3)
E(3) = 0 (при наличии трех орлов, бросать больше не нужно).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. E(0) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 * E(1)
2. E(1) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 * E(2)
3. E(2) = 1 + 1/2 * E(0)

Решая эту систему, можно найти E(0), E(1) и E(2).

При решении уравнений, получаем:

- E(2) = 1 + 1/2 * E(0)
- E(1) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 * E(2)
- Подставляем E(2) в E(1):
E(1) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 * (1 + 1/2 * E(0))
E(1) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 + 1/4 * E(0) = 3/2 + 3/4 * E(0)

Теперь подставим это в первое уравнение:

E(0) = 1 + 1/2 * E(0) + 1/2 * (3/2 + 3/4 * E(0))

Решая это, мы можем найти E(0) и затем подставить обратно, чтобы найти E(1) и E(2).

После решения системы уравнений, мы получим, что математическое ожидание числа бросков до появления трех орлов равно 14.

Аватар пользователя
Мудрец
3мес

Вот формула.
3/8+(4/8)*(7/8)+(5/8)*(7/8)²+(6/8)*(7/8)³....
Если нужно будет подробно, то напишу

Аватар пользователя
Профи
3мес

Орел - О, решка - р.
ООР, ОРР, ОРО, РОО, РОР, РРО, РРР, ООО
Мы пока только элемент. события проходили. Скорее всего, это неправильно.