ГЕОМЕТРИЯ 9 КЛАСС С ОБЪЯСНЕНИЕМ, ПОЖАЛУЙСТА

КРОКОДИЛДО ПЕНЕСИНИ

это в гдз есть =)

Чтобы найти площадь круга (S), описанного около фигуры, нужно сначала найти радиус (R) этого круга, а затем использовать формулу площади круга: S = πR².

Рассмотрим каждый случай:

а) Прямоугольник со сторонами a и b

Нахождение радиуса (R):

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Диаметр (D) описанной окружности равен диагонали прямоугольника.

Найдем диагональ (d) прямоугольника по теореме Пифагора: d² = a² + b². Значит, d = √(a² + b²).

Диаметр D = d = √(a² + b²).

Радиус R = D/2 = √(a² + b²) / 2.

Нахождение площади круга (S):

S = πR² = π * [√(a² + b²) / 2]²

S = π * (a² + b²) / 4

Ответ для а): S = π(a² + b²) / 4

б) Прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим углом α

Нахождение радиуса (R):

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы.

Диаметр (D) описанной окружности равен гипотенузе (c) треугольника.

Мы знаем катет a и противолежащий ему угол α. По определению синуса в прямоугольном треугольнике: sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза = a / c.

Отсюда гипотенуза c = a / sin(α).

Диаметр D = c = a / sin(α).

Радиус R = D/2 = (a / sin(α)) / 2 = a / (2 * sin(α)).

Нахождение площади круга (S):

S = πR² = π * [a / (2 * sin(α))]²

S = π * a² / (4 * sin²(α))

Ответ для б): S = πa² / (4sin²α)

в) Равнобедренный треугольник с основанием a и высотой h, проведённой к основанию

Нахождение радиуса (R):

Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника: R = (abc) / (4K), где a, b, c - стороны треугольника, K - его площадь.

В нашем случае:

Основание = a.

Высота к основанию = h.

Площадь треугольника K = (1/2) * основание * высота = (1/2) * a * h.

Найдем боковую сторону (обозначим ее b). Высота h делит основание a пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h, половиной основания (a/2) и боковой стороной b. По теореме Пифагора: b² = h² + (a/2)² = h² + a²/4. Значит, b = √(h² + a²/4).

Теперь подставим стороны (a, b, b) и площадь K в формулу для R:
R = (a * b * b) / (4 * K) = (a * b²) / (4 * (1/2 * a * h))
R = (a * (h² + a²/4)) / (2 * a * h)
R = (h² + a²/4) / (2h)
R = (4h² + a²) / (8h) (привели к общему знаменателю в числителе)

Альтернативный способ найти R (через подобие или теорему Пифагора для центра окружности):
Центр O описанной окружности лежит на высоте h. Пусть расстояние от вершины (противоположной основанию) до центра O равно R. Расстояние от основания до центра O равно |h - R|. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания (a/2), отрезком высоты от основания до центра (|h - R|) и радиусом R (от центра до вершины на основании). По теореме Пифагора:
R² = (a/2)² + (h - R)² (предполагаем, что центр ниже вершины)
R² = a²/4 + h² - 2hR + R²
0 = a²/4 + h² - 2hR
2hR = h² + a²/4
R = (h² + a²/4) / (2h) = (4h² + a²) / (8h) (тот же результат)

Нахождение площади круга (S):

S = πR² = π * [(4h² + a²) / (8h)]²

S = π * (4h² + a²)² / (64h²)

Ответ для в): S = π(4h² + a²)² / (64h²)