Алгебра, 10 класс

Решим оба уравнения:

a) 4 sin 3x + cos² 3x = 4

Используем основное тригонометрическое тождество sin² θ + cos² θ = 1, чтобы выразить cos² 3x через sin 3x:
cos² 3x = 1 - sin² 3x

Подставим это в исходное уравнение:
4 sin 3x + (1 - sin² 3x) = 4

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные:
4 sin 3x + 1 - sin² 3x - 4 = 0
-sin² 3x + 4 sin 3x - 3 = 0
Умножим на -1 для удобства:
sin² 3x - 4 sin 3x + 3 = 0

Сделаем замену y = sin 3x. Уравнение примет вид квадратного:
y² - 4y + 3 = 0

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (сумма корней 4, произведение 3) или найти дискриминант:
D = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4
y₁ = (4 - √4) / (2 * 1) = (4 - 2) / 2 = 1
y₂ = (4 + √4) / (2 * 1) = (4 + 2) / 2 = 3

Вернемся к замене sin 3x:

sin 3x = 1

sin 3x = 3

Решим каждое из полученных простейших тригонометрических уравнений:

sin 3x = 3: Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса [-1, 1].

sin 3x = 1: Это частный случай. Решение имеет вид:
3x = π/2 + 2πn, где n ∈ Z (Z - множество целых чисел)

Выразим x:
x = (π/2 + 2πn) / 3
x = π/6 + (2πn)/3, где n ∈ Z

Ответ для а): x = π/6 + (2πn)/3, где n ∈ Z

б) 2 sin²x - 2 cos 2x - sin 2x = 0

Используем формулы двойного угла, чтобы привести все к аргументу x:

cos 2x = 1 - 2 sin²x (выбираем эту формулу, так как в уравнении уже есть sin²x)

sin 2x = 2 sin x cos x

Подставим эти выражения в уравнение:
2 sin²x - 2(1 - 2 sin²x) - (2 sin x cos x) = 0

Раскроем скобки и упростим:
2 sin²x - 2 + 4 sin²x - 2 sin x cos x = 0
6 sin²x - 2 sin x cos x - 2 = 0

Заменим константу -2 с помощью основного тригонометрического тождества: -2 = -2(sin²x + cos²x)
6 sin²x - 2 sin x cos x - 2(sin²x + cos²x) = 0
6 sin²x - 2 sin x cos x - 2 sin²x - 2 cos²x = 0
4 sin²x - 2 sin x cos x - 2 cos²x = 0

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Разделим обе части уравнения на cos²x. Перед делением нужно убедиться, что cos x ≠ 0. Если cos x = 0, то x = π/2 + πk, и sin²x = 1. Подставим в уравнение 4 sin²x - 2 sin x cos x - 2 cos²x = 0:
4(1) - 2 sin x (0) - 2(0)² = 0
4 = 0, что неверно. Следовательно, cos x ≠ 0, и мы можем делить на cos²x.

Делим на cos²x:
(4 sin²x / cos²x) - (2 sin x cos x / cos²x) - (2 cos²x / cos²x) = 0
4 tan²x - 2 tan x - 2 = 0

Разделим все уравнение на 2:
2 tan²x - tan x - 1 = 0

Сделаем замену t = tan x. Уравнение примет вид:
2t² - t - 1 = 0

Решим квадратное уравнение:
D = (-1)² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9
t₁ = (1 - √9) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2
t₂ = (1 + √9) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1

Вернемся к замене tan x:

tan x = 1

tan x = -1/2

Решим каждое из полученных простейших тригонометрических уравнений:

tan x = 1: x = π/4 + πk, где k ∈ Z

tan x = -1/2: x = arctan(-1/2) + πk или x = -arctan(1/2) + πk, где k ∈ Z

Ответ для б): x = π/4 + πk, x = -arctan(1/2) + πk, где k ∈ Z