Чтобы искать внутри всего div, возьмите внутренний HTML всего этого div и в нем ищите.
Если у вас <div id="111"> и тут искомый текст </div>, тогда так:
const container = document.querySelector("#111");
const string = container.innerHTML;
const result = string.replace(/\|\b([^|]+)\b\|/g, '<span class="colored">$1</span>');
container.innerHTML = result;
Для кавычек-ёлочек меняем регулярное выражение.
const result = string.replace(/«\b([^»]+)\b\»/g, '<span class="colored">$1</span>');
Но вообще с \b это работает только в том случае, когда строка между || начинается и заканчивается буквой.
Вот тут можете потренироваться:
https://regex101.com 
Есть такой вот код он работает, но ищет и заменяет только в указанном в строке const string = тексте. Мне же надо искать и заменять внутри всего div. Ищу решение!
И второй вопрос - в приведённом коде заменяется цвет текста внутри | |
Как заменить на «внутри таких вот кавычек» желательно включая сами кавычки?