Груз массы m лежит на доске массы М..

Хорошо, давай решим эту задачу шаг за шагом.

1. Описание ситуации и сил:

В начальный момент (t=0) доска (масса M) получает скорость v₀, а груз (масса m) покоится относительно земли (его скорость равна 0).

Между грузом и доской возникает сила трения скольжения, так как есть относительное движение.

Эта сила трения будет ускорять груз и тормозить доску.

Скольжение прекратится, когда их скорости станут равными.

2. Силы, действующие на тела (в горизонтальном направлении):

На груз (m): Действует сила трения скольжения Fтр со стороны доски, направленная в сторону движения доски (вперед).

Fтр = k * N, где N - сила нормальной реакции доски на груз. В вертикальном направлении груз покоится, поэтому N = mg.

Следовательно, Fтр = k * m * g.

На доску (M): Действует сила трения скольжения Fтр' со стороны груза. По третьему закону Ньютона, она равна по модулю силе Fтр, но направлена в противоположную сторону (назад).

Fтр' = k * m * g.

Трения между доской и горизонтальной плоскостью нет.

3. Ускорения тел (по второму закону Ньютона):

Ускорение груза (a_m):

Fтр = m * a_m

k * m * g = m * a_m

a_m = k * g (направлено вперед)

Ускорение доски (a_M):

-Fтр' = M * a_M (знак "минус", так как сила направлена против начальной скорости v₀)

-k * m * g = M * a_M

a_M = - (k * m * g) / M (направлено назад, то есть это торможение)

4. Скорости тел как функции времени (t):

Скорость груза (v_m):

v_m(t) = v_m(0) + a_m * t

v_m(t) = 0 + k * g * t = k * g * t

Скорость доски (v_M):

v_M(t) = v_M(0) + a_M * t

v_M(t) = v₀ - (k * m * g / M) * t

5. Условие прекращения скольжения:

Скольжение прекратится в момент времени T, когда скорости груза и доски станут равными:

v_m(T) = v_M(T)

6. Нахождение времени T:

Подставляем выражения для скоростей в условие:

k * g * T = v₀ - (k * m * g / M) * T

Переносим члены с T в левую часть:

k * g * T + (k * m * g / M) * T = v₀

Выносим T * k * g за скобки:

T * k * g * (1 + m / M) = v₀

Приводим выражение в скобках к общему знаменателю:

1 + m / M = (M + m) / M

Подставляем обратно:

T * k * g * ((M + m) / M) = v₀

Выражаем T:

T = v₀ / [k * g * ((M + m) / M)]

T = (v₀ * M) / (k * g * (M + m))

Ответ: Промежуток времени, спустя который прекратится скольжение груза по доске, равен T = (v₀ * M) / (k * g * (M + m)).