Стереометрия, 10 класс

**Решение:**

Дана прямая призма \( ABCA_1B_1C_1 \) с основанием — прямоугольным треугольником \( ABC \) (\(\angle A = 90°\)), где \( AC = 5 \), \( AB = 12 \) и боковым ребром \( AA_1 = 15 \). Требуется найти угол между плоскостями \( ABC \) и \( A_1BC \).

### 1. Введём систему координат:
- Поместим точку \( A \) в начало координат: \( A(0, 0, 0) \).
- Ось \( x \) направим вдоль \( AB \), ось \( y \) — вдоль \( AC \), ось \( z \) — вдоль \( AA_1 \).
- Тогда координаты точек:
- \( B(12, 0, 0) \),
- \( C(0, 5, 0) \),
- \( A_1(0, 0, 15) \).

### 2. Найдём уравнение плоскости \( ABC \):
Плоскость \( ABC \) совпадает с плоскостью \( Oxy \), её уравнение:
\[
z = 0.
\]
Нормальный вектор: \( \vec{n_1} = (0, 0, 1) \).

### 3. Найдём уравнение плоскости \( A_1BC \):
Используем три точки \( A_1(0, 0, 15) \), \( B(12, 0, 0) \), \( C(0, 5, 0) \).

- Векторы в плоскости:
\[
\vec{A_1B} = (12, 0, -15), \quad \vec{A_1C} = (0, 5, -15).
\]
- Нормальный вектор \( \vec{n_2} \) найдём через векторное произведение:
\[
\vec{n_2} = \vec{A_1B} \times \vec{A_1C} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
12 & 0 & -15 \\
0 & 5 & -15 \\
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(0 \cdot (-15) - (-15) \cdot 5) - \mathbf{j}(12 \cdot (-15) - (-15) \cdot 0) + \mathbf{k}(12 \cdot 5 - 0 \cdot 0)
\]
\[
= \mathbf{i}(75) - \mathbf{j}(-180) + \mathbf{k}(60) = (75, 180, 60).
\]
- Упростим вектор, разделив на 15:
\[
\vec{n_2} = (5, 12, 4).
\]

### 4. Найдём угол между плоскостями:
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами \( \vec{n_1} \) и \( \vec{n_2} \).

- Скалярное произведение:
\[
\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 5 + 0 \cdot 12 + 1 \cdot 4 = 4.
\]
- Длины векторов:
\[
|\vec{n_1}| = 1, \quad |\vec{n_2}| = \sqrt{5^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 144 + 16} = \sqrt{185}.
\]
- Косинус угла:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{4}{\sqrt{185}}.
\]
- Искомый угол:
\[
\theta = \arccos \left( \frac{4}{\sqrt{185}} \right).
\]

**Ответ:**
\[
\boxed{\arccos \dfrac{4\sqrt{185}}{185}}
\]

Сделай чертёж и скинь, просто в уме это всё представлять слишком муторно

Что ? Ты там под чем браток, поделись🤙😜