Помогите решить sin x cos x + 2 sin^2 x = cos^2 x пожалуйста

Так это легко

надо учиться

Здравствуйте! Давайте решим это тригонометрическое уравнение шаг за шагом и проверим ваш ответ.

Исходное уравнение:
$ \sin x \cos x + 2 \sin^2 x = \cos^2 x $

Перенесем все члены в одну сторону:
$ \sin x \cos x + 2 \sin^2 x - \cos^2 x = 0 $

Проверим, является ли cosx=0 решением.
Если $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом случае $ \sin x = \pm 1 $.
Подставим в уравнение:
$ (\pm 1)(0) + 2 (\pm 1)^2 - 0^2 = 0 $
$ 0 + 2(1) - 0 = 0 $
$ 2 = 0 $
Это неверно, значит $ \cos x \neq 0 $.

Разделим уравнение на cos
2
x. Поскольку мы установили, что $ \cos x \neq 0 $, деление возможно.
$ \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

Упростим, используя tanx=
cosx
sinx
​
:
$ \frac{\sin x}{\cos x} + 2 \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 - 1 = 0 $
$ \tan x + 2 \tan^2 x - 1 = 0 $

Запишем как квадратное уравнение относительно tanx:
$ 2 \tan^2 x + \tan x - 1 = 0 $

Сделаем замену: Пусть $ y = \tan x $. Уравнение примет вид:
$ 2y^2 + y - 1 = 0 $

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 $.
Корни:
$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $

Вернемся к tanx:

$ \tan x = y_1 = \frac{1}{2} $
$ \tan x = y_2 = -1 $
Найдем x для каждого случая:

Для $ \tan x = \frac{1}{2} $, общее решение: $ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Для $ \tan x = -1 $, общее решение: $ x = \arctan(-1) + \pi n $ $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Вывод:

Ваши предложенные ответы:
$ x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
(я заменил 'p' на стандартное обозначение $ \pi $ и 'е z' на $ n \in \mathbb{Z} $)

Эти решения полностью совпадают с полученными выше.

Да, ваш ответ абсолютно правильный!

ну короче вставь синус и косинус в формулу подставь x и проверь сам все норм кажется так)