Помогите пожалуйста, математика 10 класс

1. Решение уравнения:

Уравнение: 2cos²x - √3 cosx - 3 = 0

Введём замену: t = cosx. Тогда уравнение примет вид:

2t² - √3t - 3 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно t.

Дискриминант (D) = (-√3)² - 4 * 2 * (-3) = 3 + 24 = 27

t₁ = (√3 + √27) / (2 * 2) = (√3 + 3√3) / 4 = 4√3 / 4 = √3

t₂ = (√3 - √27) / (2 * 2) = (√3 - 3√3) / 4 = -2√3 / 4 = -√3 / 2

Теперь вернёмся к замене:

а) cosx = √3 (не имеет решений, так как √3 > 1, а значения косинуса лежат в диапазоне [-1; 1])

б) cosx = -√3 / 2

x = ±(2π/3) + 2πk, где k ∈ Z

2. Нахождение корней, принадлежащих отрезку [7; 11]:

Нужно найти все целые значения k, при которых корни x = ±(2π/3) + 2πk попадают в отрезок [7; 11]. Приближённо π ≈ 3.14, значит 2π ≈ 6.28, а 2π/3 ≈ 2.09.

а) x = (2π/3) + 2πk

7 ≤ (2π/3) + 2πk ≤ 11

7 - (2π/3) ≤ 2πk ≤ 11 - (2π/3)

7 - 2.09 ≤ 6.28k ≤ 11 - 2.09

4.91 ≤ 6.28k ≤ 8.91

4. 91 / 6.28 ≤ k ≤ 8.91 / 6.28

5. 78 ≤ k ≤ 1.42

Единственное целое значение k, удовлетворяющее этому условию, это k = 1.

x = (2π/3) + 2π * 1 = (2π/3) + 2π = (8π/3) ≈ 8.37 (принадлежит отрезку [7; 11])

б) x = -(2π/3) + 2πk

7 ≤ -(2π/3) + 2πk ≤ 11

7 + (2π/3) ≤ 2πk ≤ 11 + (2π/3)

7 + 2.09 ≤ 6.28k ≤ 11 + 2.09

9. 09 ≤ 6.28k ≤ 13.09

10. 09 / 6.28 ≤ k ≤ 13.09 / 6.28

11. 45 ≤ k ≤ 2.08

Единственное целое значение k, удовлетворяющее этому условию, это k = 2.

x = -(2π/3) + 2π * 2 = -(2π/3) + 4π = (10π/3) ≈ 10.47 (принадлежит отрезку [7; 11])

Ответ:

Корни уравнения: x = ±(2π/3) + 2πk, где k ∈ Z

Корни, принадлежащие отрезку [7; 11]: (8π/3) и (10π/3)