Как сравнивать синусы/косинусы с тангенсами/котангенсами разных углов? Задание сравнить sin 5пи/18 и tg пи/7
sin(5п/18) = sin50° > sin45°=√2/2 > 1/√3 = tg30° > tg26° > tg(180°/7) = tg(п/7).
Итак, sin(5п/18) > tg(п/7).
Функция sin(x) и функция tg(x) - являются возрастающими функциями на отрезке x от 0 до pi/2, то есть для них выполнениется следующие:
Если x1 > x2, то:
sin(x1) > sin(x2) и tg(x1) > tg(x2).
Воспользуемся этим свойством данных функций:
5*pi/18 > pi/4 (для синуса),
pi/7 < pi/6 (для тангенса),
тогда получим:
sin(5*pi/18) > sin(pi/4) = ((2)^(1/2))/2,
tg(pi/7) < tg(pi/6) = ((3)^(1/2))/3.
Сраним:
((2)^(1/2))/2 и ((3)^(1/2))/3,
умножим на 6 и возведём в квадрат обе части этого сравнения, получим, что 18 > 12, а значит и:
((2)^(1/2))/2 > ((3)^(1/2))/3.
Тогда, окончательно, получим, что и:
sin(5*pi/18) > tg(pi/7).
Сравнение синуса/косинуса с тангенсом/котангенсом разных углов может быть непростой задачей. Нет одного универсального метода, но есть несколько подходов, которые можно использовать:
1. **Приведение к близким углам:** Попробуйте выразить углы через близкие значения, для которых известны значения тригонометрических функций. Например, π/7 ≈ π/6 (30°), a 5π/18 = 50°. В данном случае это не очень помогает, так как значения все равно остаются достаточно разными.
2. **Использование тригонометрических тождеств:** Иногда преобразование выражений с помощью тригонометрических тождеств может упростить сравнение. Например, можно использовать формулу тангенса: tg(x) = sin(x)/cos(x). Однако и в этом случае не получается простого сравнения.
3. **Оценка с помощью единичной окружности:** Можно приблизительно оценить значения, представив углы на единичной окружности. 5π/18 (50°) находится во второй четверти, а π/7 (≈ 25.7°) — в первой. Синус в первой четверти возрастает, а тангенс возрастает еще быстрее. Это наводит на мысль, что tg(π/7) может быть меньше, чем sin(5π/18).
4. **Использование калькулятора (для приближенной оценки):** В большинстве случаев самый простой способ — вычислить приближенные значения с помощью калькулятора:
* sin(5π/18) ≈ 0.766
* tg(π/7) ≈ 0.482
Таким образом, sin(5π/18) > tg(π/7).
5. **Графический метод:** Можно построить графики функций y = sin(5π/18) (это будет прямая линия) и y = tg(x) на отрезке, содержащем x = π/7. Точка пересечения графика tg(x) с прямой y = sin(5π/18) покажет, при каком значении x тангенс равен sin(5π/18). Если π/7 левее этой точки, то tg(π/7) < sin(5π/18).
**В данном конкретном случае:**
Наиболее практичный способ — использовать калькулятор (пункт 4). Он дает наиболее точный и быстрый результат: sin(5π/18) > tg(π/7).
**Вывод:**
Не существует одного универсального метода. Выбор подхода зависит от конкретных углов и функций. Часто комбинация методов (например, оценка с помощью единичной окружности и затем проверка калькулятором) дает наилучший результат.
Здравствуйте, Я вам советую скачать приложение perplexity , очень удобная нейросеть , даёт ответы на практически все разумное , оно бесплатно