Помогите срочно с задачей по высшей математике
По данным корреляционной таблицы найти условные средние Y, и X Оценить тесноту линейной связи между признаками Х и У и составить уравнения линейной регрессии У по Х и Х по У. Сделать чертёж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии. Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.
1. Находим условные средние Y и X
Сначала напомню, что такое условное среднее. Условное среднее Y при фиксированном X (обозначается как Yx) – это среднее значение Y для тех наблюдений, у которых X имеет определенное значение. Аналогично и для условного среднего X при фиксированном Y (Xy).
Условные средние Y (Yx):
Чтобы найти Yx для каждого значения X, нужно умножить каждое значение Y на соответствующую частоту (из таблицы), сложить эти произведения и разделить на сумму частот для данного X (nx).
Для X = 2: Yx = (3*4) / 4 = 3
Для X = 7: Yx = (3*2 + 13*5) / 7 = (6 + 65) / 7 = 71 / 7 ≈ 10.14
Для X = 12: Yx = (13*3 + 23*5 + 33*2) / 10 = (39 + 115 + 66) / 10 = 220 / 10 = 22
Для X = 17: Yx = (23*45 + 33*8 + 43*4) / 57 = (1035 + 264 + 172) / 57 = 1471 / 57 ≈ 25.81
Для X = 22: Yx = (23*5 + 33*7 + 43*7) / 19 = (115 + 231 + 301) / 19 = 647 / 19 ≈ 34.05
Для X = 27: Yx = (43*3) / 3 = 43
Условные средние X (Xy):
Чтобы найти Xy для каждого значения Y, нужно умножить каждое значение X на соответствующую частоту, сложить эти произведения и разделить на сумму частот для данного Y (ny).
Для Y = 3: Xy = (2*4 + 7*2) / 6 = (8 + 14) / 6 = 22 / 6 ≈ 3.67
Для Y = 13: Xy = (7*5 + 12*3) / 8 = (35 + 36) / 8 = 71 / 8 ≈ 8.88
Для Y = 23: Xy = (12*5 + 17*45 + 22*5) / 55 = (60 + 765 + 110) / 55 = 935 / 55 ≈ 17
Для Y = 33: Xy = (12*2 + 17*8 + 22*7) / 17 = (24 + 136 + 154) / 17 = 314 / 17 ≈ 18.47
Для Y = 43: Xy = (17*4 + 22*7 + 27*3) / 14 = (68 + 154 + 81) / 14 = 303 / 14 ≈ 21.64
2. Оцениваем тесноту линейной связи и составляем уравнения регрессии
Для оценки тесноты линейной связи нам понадобятся выборочные средние и выборочные дисперсии для X и Y, а также выборочная ковариация.
Выборочные средние (Xср и Yср):
Xср = (2*4 + 7*7 + 12*10 + 17*57 + 22*19 + 27*3) / 100 = (8 + 49 + 120 + 969 + 418 + 81) / 100 = 1645 / 100 = 16.45
Yср = (3*6 + 13*8 + 23*55 + 33*17 + 43*14) / 100 = (18 + 104 + 1265 + 561 + 602) / 100 = 2550 / 100 = 25.5
Выборочные дисперсии (Dx и Dy):
Сначала найдём моменты второго порядка:
E(X^2) = (2^2*4 + 7^2*7 + 12^2*10 + 17^2*57 + 22^2*19 + 27^2*3) / 100 = (16 + 343 + 1440 + 16449 + 9196 + 2187) / 100 = 29631 / 100 = 296.31
Dx = E(X^2) - (Xср)^2 = 296.31 - (16.45)^2 = 296.31 - 270.6025 = 25.7075
E(Y^2) = (3^2*6 + 13^2*8 + 23^2*55 + 33^2*17 + 43^2*14) / 100 = (54 + 1352 + 29095 + 18537 + 25934) / 100 = 74972 / 100 = 749.72
Dy = E(Y^2) - (Yср)^2 = 749.72 - (25.5)^2 = 749.72 - 650.25 = 99.47
Выборочная ковариация (Cov(X, Y)):
Cov(X, Y) = E(XY) - Xср * Yср
E(XY) = (2*3*4 + 7*3*2 + 7*13*5 + 12*13*3 + 12*23*5 + 17*23*45 + 17*33*8 + 17*43*4 + 22*23*5 + 22*33*7 + 22*43*7 + 27*43*3) / 100 = (24 + 42 + 455 + 468 + 1380 + 17595 + 4624 + 2924 + 2530 + 5082 + 6622 + 3483) / 100 = 45229 / 100 = 452.29
Cov(X, Y) = 452.29 - 16.45 * 25.5 = 452.29 - 419.475 = 32.815
Коэффициент корреляции (r):
r = Cov(X, Y) / (sqrt(Dx) * sqrt(Dy)) = 32.815 / (sqrt(25.7075) * sqrt(99.47)) ≈ 32.815 / (5.07 * 9.97) ≈ 32.815 / 50.55 ≈ 0.65
Коэффициент корреляции r ≈ 0.65 говорит о заметной положительной линейной связи между X и Y.
Уравнения линейной регрессии:
Y по X: Y = a + bX, где b = Cov(X, Y) / Dx и a = Yср - b * Xср
b = 32.815 / 25.7075 ≈ 1.28 a = 25.5 - 1.28 * 16.45 ≈ 25.5 - 21.056 ≈ 4.44
Уравнение регрессии Y по X: Y = 4.44 + 1.28X
X по Y: X = c + dY, где d = Cov(X, Y) / Dy и c = Xср - d * Yср
d = 32.815 / 99.47 ≈ 0.33 c = 16.45 - 0.33 * 25.5 ≈ 16.45 - 8.415 ≈ 8.04
Уравнение регрессии X по Y: X = 8.04 + 0.33Y
3. Чертёж
К сожалению, я не могу нарисовать чертёж. Но я могу описать, как его сделать:
Сначала вычислим условные средние. Для каждого значения X вычислите среднее Y, учитывая частоту появления в классе для каждого Y. Например, если X=2 имеет частоты классов 4 и 5 для Y=3 и 13 соответственно, рассчитайте (3*4 + 13*5)/9. Также сделайте подобное для всех X. Повторите то же самое для Y, вычисляя средние X при каждом зафиксированном Y.
Затем вычислите коэффициент корреляции для двух переменных X и Y. Сначала вычислите центральное значение X и Y для всей таблицы, затем их средние значения (дисперсию) и диапазон значений каждой переменной. Вычислите ковариацию, то есть насколько X и Y движутся в унисон от своих средних значений. Разделите ковариацию на произведение квадратного корня из дисперсии X и квадратного корня из дисперсии Y. Это даст вам силу корреляции; если полученное число близко к 1 или -1, корреляция сильная, а если к 0 - слабая.
Теперь постройте уравнения регрессии. Чтобы получить Y из X, сначала получите из диаграммы рассеяния прямую линию, которая делит область так, что почти все точки попадают на одну сторону. Эта линия имеет наклон, который дает значение углового коэффициента; разделите ковариацию на дисперсию X, затем пересечение получается из усечения ствола; вычтите среднее Y из общего произведения, где склонность - это среднее значение X, контролирующее выход, и это будет Y, добавьте константу C в уравнении Y = наклон * X + C. Сделайте обратное для остального.
Сначала вычислим условные средние. Для каждого значения X вычислите среднее Y, учитывая частоту появления в классе для каждого Y. Например, если X=2 имеет частоты классов 4 и 5 для Y=3 и 13 соответственно, рассчитайте (3*4 + 13*5)/9. Также сделайте подобное для всех X. Повторите то же самое для Y, вычисляя средние X при каждом зафиксированном Y.
Затем вычислите коэффициент корреляции для двух переменных X и Y. Сначала вычислите центральное значение X и Y для всей таблицы, затем их средние значения (дисперсию) и диапазон значений каждой переменной. Вычислите ковариацию, то есть насколько X и Y движутся в унисон от своих средних значений. Разделите ковариацию на произведение квадратного корня из дисперсии X и квадратного корня из дисперсии Y. Это даст вам силу корреляции; если полученное число близко к 1 или -1, корреляция сильная, а если к 0 - слабая.
Теперь постройте уравнения регрессии. Чтобы получить Y из X, сначала получите из диаграммы рассеяния прямую линию, которая делит область так, что почти все точки попадают на одну сторону. Эта линия имеет наклон, который дает значение углового коэффициента; разделите ковариацию на дисперсию X, затем пересечение получается из усечения ствола; вычтите среднее Y из общего произведения, где склонность - это среднее значение X, контролирующее выход, и это будет Y, добавьте константу C в уравнении Y = наклон * X + C. Сделайте обратное для остального.
короче брат сначала ищешь средние потом считаешь r ещё регрессию строишь потом крякаешь чертёж
хз 4