Решите, пожалуйста. Заранее спасибо
Треугольник АВС вписан в окружность, найдите углы данного треугольника, если дуга AB : дуга BC : дуга AC = 3 : 4 : 5
2. В окружность вписан четырехугольник MNLK, найдите углы М и L, если угол М в 2 раза больше угла L.
3. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 см и 8 см.
4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием, равным 10см, и боковой стороной, равной 13см.
5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС-80°, угол CAD=45°. Найдите угол ACD.
3. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 см и 8 см. 18
Решение:
Пусть a = 6 см, b = 8 см — катеты прямоугольного треугольника. Тогда гипотенуза c равна: c = √(a^2 + b^2) = √(36 + 64) = √100 = 10 см. 18
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле: r = (a + b - c) / 2 = (6 + 8 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2 см. 18
4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием, равным 10 см, и боковой стороной, равной 13 см. 26
Решение:
Пусть a = 10 см — основание, b = 13 см — боковая сторона равнобедренного треугольника. 2
Найдём высоту h, проведённую к основанию. Она также является медианой. По теореме Пифагора: h = √(b^2 - (a/2)^2) = √(13^2 - 5^2) = √(169 - 25) = √(144) = 12 см. 2
Площадь треугольника: S = 1/2 * a * h = 1/2 * 10 * 12 = 60 см². 2
Полупериметр треугольника: p = (a + 2b) / 2 = (10 + 2 * 13) / 2 = (10 + 26) / 2 = (36) / 2 = 18 см. 2
Радиус вписанной окружности: r = S / p = 60 / 18 = 10/3 см или 3,1 см.
1)360:(3+4+5)=30;
3*30=90;4*30=120; 5*30=150=> < = 90:2=45°; 120:2=60°; 150:2=75°
Давайте последовательно решим все задачи. Все расчёты основаны на свойствах вписанных углов, треугольников и окружностей.
---
### **1. Найти углы треугольника ABC, если дуги AB : BC : AC = 3 : 4 : 5**
Если треугольник вписан в окружность, то **величина угла при вершине равна половине дуги, на которую он опирается**.
Пусть:
* длина дуги AB = 3x
* дуги BC = 4x
* дуги AC = 5x
Сумма дуг всей окружности = 3x + 4x + 5x = **12x = 360° → x = 30°**
Теперь:
* дуга AB = 90°
* дуга BC = 120°
* дуга AC = 150°
Тогда:
* **∠C** (опирается на дугу AB) = ½ × 90° = **45°**
* **∠A** (опирается на дугу BC) = ½ × 120° = **60°**
* **∠B** (опирается на дугу AC) = ½ × 150° = **75°**
✅ **Ответ**: ∠A = 60°, ∠B = 75°, ∠C = 45°
---
### **2. Вписанный четырёхугольник MNLK, ∠M = 2 × ∠L. Найти ∠M и ∠L**
У любого **вписанного четырёхугольника**:
> **Сумма противоположных углов = 180°**
Пусть ∠L = x, тогда ∠M = 2x.
Тогда:
**∠L + ∠M = x + 2x = 3x = 180° → x = 60°, значит:**
✅ ∠L = **60°**, ∠M = **120°**
---
### **3. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см**
В прямоугольном треугольнике:
> **r = (a + b - c) / 2**, где c — гипотенуза.
Находим гипотенузу:
c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = **10 см**
Теперь:
r = (6 + 8 - 10)/2 = (4)/2 = **2 см**
✅ **Ответ**: **2 см**
---
### **4. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 10 см, боковой стороной 13 см**
Сначала найдём **площадь** треугольника по формуле Герона, затем воспользуемся формулой:
> **r = S / p**, где S — площадь, p — полупериметр.
Стороны: 13, 13, 10
p = (13 + 13 + 10)/2 = **18**
Площадь:
$$
S = \sqrt{18(18 - 13)(18 - 13)(18 - 10)} = \sqrt{18 × 5 × 5 × 8} = \sqrt{3600} = 60
$$
Тогда:
$$
r = S / p = 60 / 18 = \frac{10}{3} ≈ 3.33 см
$$
✅ **Ответ**: **$\frac{10}{3}$ см ≈ 3.33 см**
---
### **5. Вписанный четырёхугольник ABCD, ∠ABC = 80°, ∠CAD = 45°. Найти ∠ACD**
Так как четырёхугольник вписанный, используем **углы, стоящие на одной дуге** или сумму углов.
В треугольнике ACD:
* ∠CAD = 45°
* Найдём ∠ACD
Но проще через сумму углов:
* В треугольнике ABC, ∠ABC = 80°, ∠CAB = 45°
⇒ ∠BCA = 180° - 80° - 45° = **55°**
Так как ABCD вписанный, то **∠BCA и ∠D равны** (опираются на дугу AB), и ∠D = ∠BCA = 55°
А в треугольнике ACD: ∠CAD = 45°, ∠D = 55°
⇒ ∠ACD = 180° - 45° - 55° = **80°**
✅ **Ответ**: **∠ACD = 80°**
1 . Треугольник АВС вписан в окружность, найдите углы данного треугольника, если дуга AB : дуга BC : дуга AC = 3 : 4 : 5
180 : (3+4+5) = 15 гр
<1 = 15 * 3= 45
<2 = 15 * 4 = 60
<3 = 15 * 5 = 75
2 . В окружность вписан четырехугольник MNLK, найдите углы М и L, если угол М в 2 раза больше угла L.
<M + <L = 180. <M = 120, <L = 60
3. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 см и 8 см.
S = r * p
Гипотенуза равна 10 ( египетский тр-к)
S = 1/2 * 6 * 8 = 24
p = 1/2 * (6+8+10) = 12
r = S : p = 24 : 12 = 2
4. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием, равным 10см, и боковой стороной, равной 13см.
h = 12 (теорема Пифагора -- 13^2 - 5^2 = 144, v144=12)
S = 60 , p = 1/2 * (13 + 13 + 10) = 18
r = S : p = 60 : 18 = 10/3 = 3 1/3
5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС-80°, угол CAD=45°. Найдите угол ACD.
<ABC + ADC = 180, ==> <ADC = 180 - 80 = 100
В тр-ке АСD: <ACD = 180 - <CAD - <ADC = 180 - 45 - 100 = 35