Задача с параметром.
Здравствуйте, не мог бы кто помочь с решением задачи с параметром? Задача звучит так: при каких параметрах а произведение действительных Корней уравнения х^2 - (а+3)х + а^2 - 7 = 0 на 2 больше суммы этих Корней? Буду рад, если оставите какие-нибудь подсказки.
хотел комментарий написать)))). Решение выше смотрите.
Все же так
Нужно начать решать уравнение.
Там получится так:
х1=(-a-3-(-3a^2+6a+37)^0.5)/2, x2=(-a-3+(-3a^2+6a+37)^0.5)/2.
x1*x2=a^2-7. x1+x2=-a-3.
По условию задачи:
a^2-7+2=-a-3. a^2+a-2=0. a1=-2, a2=1.
В квадратном уравнении (x^2 - (a+3)x + (a^2 - 7) = 0) коэффициенты:
а = 1, b = -(a + 3), c = a^2 - 7)
Для любого квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 сумма корней (S) и произведение корней (P) выражаются через коэффициенты следующим образом:
S = - b = a + 3,
P = c = a^2 - 7.
По условию задачи, произведение корней на 2 больше суммы корней: P = S + 2.
Подставим выражения для суммы и произведения корней:
a^2 - 7 = (a + 3) + 2.
a^2 - 7 = a + 5.
a^2 - a - 12 = 0.
Сначала найдем дискриминант:
D = (-1)^2 - 4 *1 *(-12) = 1 + 48 = 49.
Теперь подставим в формулу корней:
a=4 a=-3
Теперь нам нужно разобраться, чтобы уравнение имело действительные корни. Для этого его дискриминант должен быть неотрицательным:
D = (a + 3)^2 - 4(a^2 - 7) =(a^2 + 6a + 9) - (4a^2 - 28) = -3a^2 + 6a + 37.
Теперь находим, когда дискриминант неотрицательный:
-3a^2 + 6a + 37 ≥ 0 I*(-1)
3a^2 - 6a - 37 ≤0.
D = (-6)^2 - 4 *3 *(-37) = 36 + 444 = 480.
Корни: a1,2 = 1±2V30/3
Теперь находим, что функция y=3a^2 - 6a - 37 будет иметь вид параболы, открытой вверх, и будет меньше нуля на промежутке от одного корня до другого. Определим этот промежуток: (1-2V30/3; 1+2V30/3)
Таким образом, для значений a = 4 и a = -3 уравнение имеет действительные корни и удовлетворяет условию.
Я не Корней
