уважаемые математики (для очень умных)

Question

уважаемые математики (для очень умных)

не знающий Ученик (156), закрыт 14 лет назад

перпендикуляр к боковой стороне AB трапеции ABCD, проходящий через её середину K, пересекает сторону CD в точке L. Площадь AKLD в 5 раз больше площади BKLC, CL=3, DL=15, KC=4. Найти длину KD.
Ответ я знаю: 20.

только пожалуйста с подробным пояснением каждого шага, потому что я решил 2-мя способами, но не смог доказать несколько своих утверждений (например про то что один из отрезков это диаметр) и мне не засчитали.
поэтому прошу вас, уважаемые, если можете то подтверждайте каждое высказывание фактами
а если знаете кучу способов то говорите все, буду очень признателен
огромное спасибо

Answer 1

1.Проведём CH и DP перпендикулярно АB.
S(AKLD)=S(AKD)+S(LDK)
S(BKLC)=S(BKC)+S(LCK)
Т. к. у треугольников LDK и LCK общая высота, опущенная из вершины K, то
S(LDK)/S(LCK)=LD/CK=5

Т. к. S(AKLD)/ S(BKLC)=5, то и S(AKD)/ S(BKC)=5.

(S(AKD)=S(AKLD)-S(LDK)=5*S(BKLC)-5S(LCK)=5S(BKC))

AK=BK, следовательно DP/CH=5

2.CH, LK, DP параллельны, KP/KH=LD/LC=5. Треугольники KPD и KHC подобны по двум сторонам и углу между ними (прямому) .
KD/KC=5,

KD=20

Answer 2

Спасибо огромное за решение!!!! Здорово и понятно))