поставят ли на учёт в безработные

Отсутствие трудовой не является основанием для отказа в регистрации в качестве ищущего работу с последующим признанием безработным.
Вы встаете на учет и вас присваивается категория впервые ищущий работу. Размер пособия будет минимальным (850р. +РК) .
Но есть еще один путь. Если нет трудовой, берете справку о работе с последнего места работы и справку о среднем заработке за последние 3 месяца заполненую в соотвенствии с Постановлением министерства труда и социального развития №62 .
В законе о "занятости населения в РФ" написано что помимо трудовой книжки вы можете предъявить документ его заменяющий.
Если по справке в Центре занятости населения вам насчитают 26 недель оплачиваемой работы за последний календарный год на момент обращения то вы будите получать не минималку, а процент от заработка указанного в предъявленой справке, но не более 4900+РК.
Так что решайте проблему и вперед за пособием.
ВСЕ :-)