Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиИгрыЗнакомстваНовостиПоискСмотриComboВсе проекты

вопрос про интеграл? почему мы заданную функцию воспринимает как производную и находим ее первообразную?

konnova nada Знаток (420), закрыт 11 лет назад

вопрос про интеграл !!!
Принцип решения интегралов я знаю, а вот понять смысл почему мы заданную функцию воспринимает как ПРоизводную( а производная это скорость изменения функции!!!)
потом эту производную "восстанавливаем" в первообразную
вообщем, мне не понятно почему например дана функция х в кубе x^3. Строим график ,потом отпускаем перпендликуляры на ось Х и получаем криволинейную трапецию
и чтобы вычислить площадь данной криволинейной трапеции МЫ производную функцию переделываем в первообразную получаем (x^4)/4
Понятно , например, когда у нас есть функция x^4/4 тогда скорость изменения данной функции то есть производная равна х в кубе(x^3)
а почему нам данна функция х в кубе(x^3) и мы ее восстановливаем МНЕ ЭТО НЕ ПОНЯТНО ОНА ЧТО ПОЛУЧАЕТСЯ ПРОИЗВОДНОЙ ТОГДА???
просто стало интересно почему так ,в книге обьяснения нет просто написано функцию вереволим впервообразную А ПРИЧИНЫ И ОБЬЯСНЕНИЯ ПОЧЕМУ МЫ ЗАДАННУЮ ФУНКЦИЮ В ПЕРВООБРАЗУЮ ФУНКЦИЮ ПЕРЕДЕЛЫВАЕМ , ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ ОБРАЗОВАННОЙ ФУНКЦИЕЙ Y^3 И ОСЬЮ Х
просто формула и примеры ХОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ПОНЯЛА И ПОЧЕМУ ТАК НЕТ !

спасибо
Лучший ответ
Balbes Постолов Гуру (2860) 11 лет назад
Раз вам так нравится понятие "скорость изменения" считайте, что вам изначально дана скорость изменения НЕКОЙ функции или производная ЧЬЯ-ТО :).
Любая функция имеет полное право быть чьей-то производной! Чьей-то "скоростью изменения" :). Найти эту функцию дело техники и вы ее нашли, но еще ищете смысл.

Смысл есть.

Если вы нарисуете график этой производной (f(x)=X^3) - фактически это будет скорость изменения площади под ней.

Возьмем попроще пример, но аналогичный.

Пусть будет скоростью изменения будет функция f(x) =3, т. е. тупо идет паралельная оси X прямая. Что меняется со скоростью = 3?
Площадь под этой прямой, например! Продлили правую границу на dx=1 - к площади добавился прямоугольник площадью 3*1 - т. е. интеграл 3 будет равне 3*X.
Т. е. площадь изменилась "быстрей" в 3 раза изменения X. Так?

Но вам то дана функция не f(x) =3. А f(x)=X^3, т. е. она сама еще меняется в зависимости от X.
Не более того. Как посоветовал Vladimir почитайте про геометрический смысл интеграла. Площадь под кривой, она же интеграл можно представить как сумму маленький прямоугльничков под сложной кривой,
т. е. функций f(x) = const, которую привел выше как пример. Хотя в учебниках там трапеции, но не суть.

Но в учебнике куда более наглядно :) На картинках, я имею ввиду. Кстати бывают учебники очень плохие. Например, для физмат уклона. Там вполне может не быть графиков даже, а интеграл объясняться на словах, далее техника, уравнения многоэтажные и т. п. Лучше взять попроще учебник и понять смысл. И бывает так, что студентов или школьников, которые не успели понимять смысл надрючивают различными техниками решения уравнений.
Остальные ответы
В. Т. Гуру (4659) 11 лет назад
Посмотрите в учебнике определение интеграла и его геометрический смысл.
Алексей Замятин Искусственный Интеллект (128692) 11 лет назад
X^3 dx - не производная а подинтегральная функция.
Функцмя как была х в кубе так и осталась
, А вот значение интеграла равно разности значений дифференциалов этой функции в двух точка - ОТ и до
Leonid Высший разум (386013) 11 лет назад
Это вопрос ТРАКТОВКИ, а не свойств самой функции и не её вида. Одна и та же функция может выступать как производная, или как интеграл, или как что угодно ещё в зависимости от того, какая конкретная задача в данный момент решается. Если надо найти площадь под кривой - то данная функция (куб, к примеру) , воспринимается как функция, и ищется определённый интеграл от этой функции в некоторых пределах. Если эта функция (тот же куб) есть зависимость скорости от времени, то для нахождения ускорения ЭТУ ФУНКЦИЮ нужно продифференцировать, а для нахождения координаты (как функции времени) ЭТУ ЖЕ ФУНКЦИЮ нужно интегрировать. Обратите внимание, что самой функции абсолютно всё равно, что мы с ней делаем. Икс в кубе так и остаётся иксом в кубе. Но вот ОПЕРАЦИЯ, которая с ним проделывается, - это как раз определяется ДАННОЙ ЗАДАЧЕЙ. Разные задачи требуют применения разных операций только и всего.
Похожие вопросы
Также спрашивают