Разрешение на выезд за границу ребёнку

Если отец ребенка официально не дал такой запрет, то доверенность на выезд из России от отца не нужна.
Смотрите закон
Федеральный закон от 15 августа 1996 г. N 114-ФЗ
О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию
(с изменениями от 18 июля 1998 г. , 24 июня 1999 г. , 10 января, 30 июня 2003 г. , 29 июня 2004 г. , 15 июня, 18 июля, 30 декабря 2006 г. , 10 января, 1, 4 декабря 2007 г. , 22, 23 июля, 3 декабря 2008 г. )
Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.

Федеральный закон от 15 августа 1996 г. N 114-ФЗ "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"
Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.
Статья 21. В случае, если один из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей заявит о своем несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации, вопрос о возможности его выезда из Российской Федерации разрешается в судебном порядке.
Порядок подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации устанавливается уполномоченным федеральным органом исполнительной власти.

Это действующий ФЗ и в нем не слова об обязательном согласии одного из родителей.
Но из личной практики могу сказать, что не выпустили, пришлось получать разрешение у отца ребенка через нотариуса.