Найдите самое большое простое число, состоящее из четного количества цифр и не превосходящее 10^9...

Ответ. 11.

В любом «палиндроме» , состоящем из четного количества цифр 2n, цифра, стоящая на месте k от начала совпадает с цифрой, стоящей на месте k с конца, от начала её место имеет номер 2n-k+1.

Из чисел k и 2n-k+1 одно чётное, другое нечётное.
Каждой цифре, стоящей на чётном месте, соответствует равная ей цифра, стоящая на нечётном, и наоборот.

Сумма цифр, стоящих на чётных местах совпадает с суммой цифр, стоящих на нечётных местах. Согласно признаку делимости на 11, число делится на 11.

Единственное простое число, кратное 11, равно 11.

PS. Можно доказать и непосредственно для чисел, не превосходящих 10^9, состоящих из чётного числа цифр, т. е. имеющих вид
X=10^7*a+10^6*b+10^5*c+10^4*d+10^3*d+10^2*c+10*b+a=
=a(10^7+1)+b*10(10^5+1)+c*100(10^3+1)+d*10^4(10+1)

10^(2k+1)+1=(10+1)(10^(2k)-10^(2k-1)+…-10+1) – кратно 11
Х кратно11.