Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиИгрыЗнакомстваНовостиПоискСмотриComboВсе проекты

вопрос про интеграл? почему мы заданную функцию воспринимает как производную и находим ее первообразную?

konnova nada Знаток (420), закрыт 11 лет назад
вопрос про интеграл? почему мы заданную функцию воспринимает как производную и находим ее первообразную?
вопрос про интеграл !!!
Принцип решения интегралов я знаю, а вот понять смысл почему мы заданную функцию воспринимает как ПРоизводную ( а производная это скорость изменения функции!!! )
потом эту производную "восстанавливаем" в первообразную
вообщем, мне не понятно почему например дана функция х в кубе x^3. Строим график, потом отпускаем перпендликуляры на ось Х и получаем криволинейную трапецию
и чтобы вычислить площадь данной криволинейной трапеции МЫ производную функцию переделываем в первообразную получаем (x^4)/4
Понятно, например, когда у нас есть функция x^4/4 тогда скорость изменения данной функции то есть производная равна х в кубе (x^3)
а почему нам данна функция х в кубе (x^3) и мы ее восстановливаем МНЕ ЭТО НЕ ПОНЯТНО ОНА ЧТО ПОЛУЧАЕТСЯ ПРОИЗВОДНОЙ ТОГДА?? ?
просто стало интересно почему так, в книге обьяснения нет просто написано функцию вереволим впервообразную А ПРИЧИНЫ И ОБЬЯСНЕНИЯ ПОЧЕМУ МЫ ЗАДАННУЮ ФУНКЦИЮ В ПЕРВООБРАЗУЮ ФУНКЦИЮ ПЕРЕДЕЛЫВАЕМ, ЧТОБЫ ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ ОБРАЗОВАННОЙ ФУНКЦИЕЙ Y^3 И ОСЬЮ Х
просто формула и примеры ХОД РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ПОНЯЛА И ПОЧЕМУ ТАК НЕТ !

спасибо
Лучший ответ
Лариса Крушельницкая Гений (53809) 11 лет назад


Представьте себе, что вы нашли площадь криволинейной трапеции для некоторой функции f(x) в интервале от 0 до a. Эта площадь равна S.

S(a) = S.

Давайте посмотрим, что произойдёт, если мы немножко увеличим ширину трапеции, сместив a вправо на расстояние Δx. Площадь трапеции увеличится на площадь добавленного прямоугольника широной Δx и высотой f(a):

S(a+Δx) = S + ΔS = S + f(a)•Δx

Давайте найдём производную площади S по переменной х. По определению произодной она равна

S'(a) = (S(a+Δx)–S(a)) / Δx,
где Δx стремится к нулю.

S'(a) = (S+f(a)•Δx–S) / Δx = f(a)•Δx / Δx = f(a).

S'(a) = f(a).

Значит функция, образующая криволинейную трапецию, является производной от площади этой трапеции.

Получается, что функция f(x), образующая трапецию, и площадь этой трапеции S(x) состоят в интересных отношениях: S(x) является первообразной от f(x), а f(x) является производной от S(x).

Это неудивительно, поскольку операции нахождения производной и нахождения первообразной являются взаимно обратными. Если производной от функции S(x) является функция f(x), то найдя первообразную от функции f(x), мы получим ту же самую функцию S(x).

S(x) → (находим производную) → f(x) → (находим перовобразную) → S(x)

Любая функция (за редким исключением) является первообразной для какой-то другой функции и производной для какой-то третьей функции. Нужна скорость изменения функции – ищем производную, нужна площадь трапеции – ищем первообразную.

Для первообразной есть множество других приложений, кроме нахождения площадей. Например, в физике ускорение является производной по времени от скорости a = v', скорость является первообразной от ускорения и производной от пути ∫adt = v = s', путь является первообразной от скорости ∫vdt = s. Работа является первообразной от силы по расстоянию A = ∫Fds, а сила, соответственно, равна производной от работы. Используя операции первообразной и производной мы переходим от одной величины к другой в разных направлениях.

Потятия «производная» и «первообразная» не являются принадлежностью какой-то определённой функции, это отношения между двумя функциями. Так же как один и тот же человек может быть кому-то сыном (первой производной) , кому-то внуком (второй производной) , кому-то отцом (первообразной) , кому-то дедом (второй первообразной) , а кому-то деверем, сватом, братом, свояком, племянником, дядей и т. д. Отношения между функциями тоже могут быть достаточно разнообразными.
Остальные ответы
nada konnova Мастер (2211) 11 лет назад
Спасибо, уважаемая Лариса за ответ
Похожие вопросы
Также спрашивают