Письма, которые пришли на мое имя в интернете, моя собственность? Я могу их опубликовать без разрешения корреспондента?

Нет.
ГК РФ
Статья 1257. Автор произведения

Автором произведения науки, литературы или искусства признается гражданин, творческим трудом которого оно создано. Лицо, указанное в качестве автора на оригинале или экземпляре произведения, считается его автором, если не доказано иное.