Что сделавшись?-это причастный или деепричастный оборот?

Постфикс -сь здесь неуместен. Допустимо "что сделав" (запив) или "что сделавши" (отыгравшись) .
Считаю, что вопрос некорректен. "что сделав" или "что сделавши" - это вопросы, которые можно задать к деепричастиям совершенного вида. Но это не деепричастный и тем более не причастный обороты.

Пример деепричастного оборота: Вкусно позавтракав, чаем запив, он получает посылку из слив.

Это не по-русски.

Да, сделав, так правильнее. Это деепричастный оборот, так как деепричастие это действие