Вступительная задача на ФЗФТШ при МФТИ

Question

Вступительная задача на ФЗФТШ при МФТИ

natalia shishkova Ученик (152), закрыт 14 лет назад

Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC поворачивают вокруг точки A на угол 30°, при этом точка B переходит в точку B1, точка C - в точку C1, а отрезок B1C1 проходит через точку C (рис. 1).

Рис. 1

а)(4) Найдите расстояние от точки K до стороны AC (где K - это точка пересечения отрезков AB1 и BC, если известно, что AB = 6.

Answer 1

1. Треугольники АВС и АB1C1 равны, углы АВС и АB1C1 равны, около четырёхугольника ABB1C можно описать окружность.

2. Треугольник BAB1 – равнобедренный, угол АВВ1=угол АВ1В=(180-30)/2=75

3. Углы АВ1В и АСВ опираются на одну хорду, равны.
Угол BAC=угол ACB= АВ1В=75

4. Угол АBC=180-75*2=30=ВАК
Треугольник AKB – равнобедренный,
AK=(AB/2)/cos 30=2*sqrt 3.

5. Угол КАС=75-30=45
расстояние от точки K до стороны AC равно
x=АК*cos КАС=sqrt 6

PS Если неизвестно, то доказательство п. 1

Опишем окружность около треугольника АВС. Пусть прямая АВ1 пересекает эту окружность в некоторой точке Х. Тогда углы АВС и АХС опираются на одну хорду, равны. Но углы АВС и АB1C1 также равны, т. е.
угол АХС=угол АВ1С, точки В1 и Х совпадают, около четырёхугольника ABB1C описана окружность.