Как извлечь в уме корень 2-й или 3-й степени?

Смотря из чего извлекать. Если из полного квадрата (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и так далее) , то надо просто таблицу знать. А если из неполного, то сделать это можно только приблизительно прикинув. Если надо извлечь корень из 7, например, то можно прикинуть, что
4<7<9 => 2< \sqrt 7 < 3.
Если надо более точно, то надо учесть, что 26*26 = 676, значит 2,6*2,6 = 6,76, а 6,76 < 7 = > \sqrt 7 > 2,6.
Но 2,7 * 2,7 = 7,29, поэтому
2,6 < \sqrt 7 < 2,7.