Что такое преобразование фурье, если по-простому на пальцах? И какое бывает?

Вот есть у тебя какой-то вектор A в трехмерном пространстве. Этот вектор можно разложить по трем осям X, Y и Z. И представить его как сумма трех векторов. А если пространство не трехмерное, а бесконечномерное, то там любой бесконечномерный вектор можно разложить по бесконечному базису векторов, направленных вдоль координатных осей. Правильно? То есть любой вектор в таком пространстве будет выглядеть, как бесконечная сумма, где каждое слагаемое представляет собой произведение единичного вектора и коэффициента. Главное, чтобы все эти единичные вектора были бы НЕЗАВИСИМЫМИ, то есть ни одн из них нельзя было бы выразить через другие. А еще лучше, чтобы они были бы все ОРТОГОНАЛЬНЫМИ, то есть перпендикулярными друг другу.
Так вот пространство всех функций y=f(x) это как раз и есть бесконечномерное пространство, где каждая функция это какой-то вектор в бесконечномерном пространстве. Значит, если мы найдем бесконечное число каких-то однотипных функций, которые как бы "перпендикулярны" друг другу, то по ним можно будет разложить любую другую функцию в этом пространстве. Эти однотипные функции будут играть роль единичных векторов в пространстве функций. Иначе говоря, тогда мы любую функцию представим как бесконечная сумма, каждое слагаемое, которой выглядит как произведение единичного вектора и коэффициента.
Вот таких бесконечных наборов функций может быть не один единственный набор, а много разных. По одному набору разлагать удобно одни функции, а по другому набору другие функции.
Например, если у тебя периодическая функция, то её лучше всего разложить в ряд по синусам и косинусам разных частот. Это применяется в теории колебаний и радиоэлектронике. Коэффициенты такого разложения показывают вклад разных частот в процесс (спектральные амплитуды) . Это очень удобно.
А вот если функция непериодическая, то разлагать её по синусам и косинусам очень неудобно (на практике надо учитывать очень много слагаемых, вдали от области результат разложения неверный, часто растет в бесконечность) . Поэтому для других видов функций применяют другие базисы.
Если функция цилиндрическая, то её лучше всего разлагать в ряд по набору функций Бесселя.
Если это шаровые функции, то они легко разлагаются по бесконечному набору полиномов Лежандра.
Существуют разные другие бесконечные наборы координатных функций в бесконечномерном пространстве функций, например, полиномы Эрмита, полиномы Лягера и т. п.
Самое главное, это чтобы в пространстве функций была бы определена операция произведения функций, подобная операции скалярного произведения векторов в обычном векторном пространстве. И такая операция действительно есть - это интеграл от произведения двух функций деленный на длину отрезка по которому берется интеграл.
Действительно, если мы возьмем, например, базисный набор по синусам и косинусам, то видно, что такой интеграл от произведения любых разных функций такого базиса дает ноль, значит они все "перпендикулярны" друг другу. А интеграл от квадрата какого-нибудь синуса или какого-нибудь косинуса, деленный на длину отрезка, при стремлении длины отрезка в бесконечность дает единицу. Всё как в обычном пространстве!
Вот такое преобразование функции и называется преобразование Фурье. Кстати, оно бывает прямое и обратное. Часто прямым преобразованием Фурье называется нахождение коэффициентов разложения в ряд, а обратным преобразованием фурье часто называется процедура, когда из таких коэффициентов и базисных функций производится обратная сборка первоначальной функции.

P.S. У Леонида очень оригинальный ответ с купюрами, но к сожалению, купюры не "перпендинулярны" друг другу (одни купюры можно выразить через другие, например сотки можно представить через десятки) и поэтому разложение Фурье по купюрам НЕОДНОЗНАЧНОЕ, можно разложить по купюрам какую-нибудь сумму разными способами. Перпендикулярность (ортогональность) базовых функций это существенное свойство преобразования Фурье. Базис надо выбирать так, чтобы все элементы его были независимыми друг от друга.