Как правильно: прИумножать или прЕумножать и почему?

Вот Даль:
ПРЕУМНОЖАТЬ преумножить что, сильно, весьма умножить
ПРИУМНОЖАТЬ приумножить что, умножить, увеличить числом, приращать, прибавлять, усиливать
Ну и в других словарях то же.
Т. е. с "пре" - сильно умножить, а с "при" - просто умножить.

в «Словаре трудностей русского языка» (Д. Розенталь, М. Теленкова, М. , 1999), а также в «Большом толковом словаре русского языка» (СПб. , 2000) приводятся обе формы написания как равноправные. В БТС приводится также толкование каждой формы написания:

Преумножить - в несколько раз умножить, намного увеличить что-либо (доходы, усилия) .

Приумножить - ещё более увеличить, умножить (доходы, богатство) .

Но «всё течёт, всё изменяется» , «ничто не вечно под луной» – одним словом, времена меняются, а с ними мы и наш язык.

В последнем издании «Русского орфографического словаря» под ред. В. В. Лопатина впервые зафиксированы и орфографически регламентированы сотни слов, появившихся в русском языке в 90-е годы XX века, и он является действительно новейшим нормативным академическим словарём (это необходимо подчеркнуть именно сейчас, когда в изобилии публикуются разнообразные орфографические словари, в том числе и такие, которые представляют собой простое воспроизведение устаревших изданий) . Итак, этот словарь признаёт целесообразным не различать глаголов преумножить и приумножить, сохранив одно написание – приумножить.

Письменное различение глаголов с приставками пре- и при- в данном случае (только в данном случае, запомните! ) признаётся бессмысленным: семантическое разграничение их затруднительно в силу лексического значения производящего глагола «умножить» , уже обозначающего многократное увеличение (не случайно, например, в «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой глагол приумножить толкуется как «то же, что преумножить») . Теперь (возрадуйтесь, учащиеся, учащие, читающие и пишущие! ) в орфографическом словаре оставлен один только глагол приумножить, значение которого – «ещё более умножить, сильно увеличить» .

В подтверждение правильности выбранного реформаторами пути приведём несколько цитат из русского Синодального перевода Библии, в тексте которого встречается только вариант «приумножить» :

Дай наставление мудрому, и он будет ещё мудрее; научи правдивого, и он приумножит знание
(Прит. 9:9).

...Ибо кто имеет, тому дано будет и приумножится, а кто не имеет, у того отнимется и то, что имеет
(Матф. 13:12).

...Ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется и то, что имеет
(Матф. 25:29).

Но при этом надо помнить, что трудностей в русском языке по-прежнему хоть отбавляй: сравним семантическое и, соответственно, орфографическое различение глаголов преуменьшить (сильно уменьшить) и приуменьшить (несколько уменьшить) , которое (увы! ) сохраняется. Этот «скорбный» список можно продолжить, а главное, существование разницы значений нужно запомнить!

Глагол пребывать – «быть, находиться» и глагол прибывать – «приехать, явиться, увеличиться» по-прежнему будут семантически и орфографически различаться только за счёт приставок пре-/при-.

То же самое относится к глаголам:
предавать (совершать предательство) – придавать (прибавлять) , преклонить (почтительно наклонить) – приклонить (в выражении негде голову приклонить, т. е. не иметь пристанища) , претворить (воплотить в жизнь) – притворить (неплотно затворить, закрыть) , преступать (преступать закон) – приступать (приниматься за что-либо) ;

существительным:
презрение (пренебрежение, неуважение) – призрение (устар. забота, попечение) , преемник (наследник, продолжатель) и приемник (приёмник – прибор или учреждение, но оттого, что буква ё у нас не в почёте в письменной речи, возникает семантическая путаница) ;

к прилагательному преходящий (временный) и причастию приходящий (от глагола приходить) и т. д.

Задумаешься над подобной проблемой – и невольно пожалеешь иностранцев (о соотечественниках я умолчу) , пытающихся проникнуть в хитрости нашей отечественной орфографии.