Задача 2

Question

Задача 2

Светик Ученик (68), закрыт 15 лет назад

Действие происходит на острове рыцарей и лжецов: первые говорят только правду, вторые - только лгут.
1) Некто (он может быть либо рыцарем, либо лжецом) говорит: "Я - лжец, а мой друг - не лжец". Определить, кто говорящий и кто его друг. Пояснение: ни рыцарь, ни лжец не могут высказать суждение "Я - лжец", ибо рыцарь бы в этом случае солгал, а лжец высказал бы правду; однако, и тот, и другой могут включить простое суждение "Я- лжец" в состав некоторых сложных суждений.
2) Житель острова говорит: "Или я - лжец, или мой друг - не лжец". Определить, кто говорящий и кто его друг.
3) Житель острова говорит: "Если я рыцарь, то съем собственную шляпу". Докажите, что ему придется съесть собственную шляпу.
4) Услышав, что на острове рыцарей и лжецов зарыты сокровища, вы спрашиваете об этом у местного жителя. Он отвечает: "Сокровища есть в том и только в том случае, если я рыцарь". Есть ли сокровища на острове? Кто говорящий - рыцарь или лжец?

Answer 1

1. Высказывание "А и В" (конъюнкция) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Сам отвечающий не может быть рыцарем, т. к. у рыцаря оба высказывания должны быть правдой, а высказывание "Я лжец" - для него ложь.
Если же он лжец, то высказывание "Я лжец" - истина, и т. к. всё высказывание ложь, то второе - ложь.
"Мой друг - не лжец " -ложь, второй тоже лжец.
Оба лжецы

2. Высказывание "А или В" (дизъюнкция) истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно.

Сам говорящий не может быть лжецом, т. к. высказывание "Или я - лжец, или мой друг - не лжец" является ложным, только если оба высказывания ложны. "Я лжец" - ложно, он - правдивый, противоречие.
Если он рыцарь, то высказывание "Я лжец ложно", и т. к. всё высказывание истинно, то высказывание
"или мой друг - не лжец" - истинно, второй рыцарь.
Оба рыцари

3. Высказывание "Если А, то В" (импликация) ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В - ложно.

Если говорящий рыцарь, то произнесенное им высказывание истинно.
Высказывание "Я рыцарь" - истинно.
Высказывание "истина -- > А" истинно тогда и только тогда, когда А истинно.
"Съем собственную шляпу" - истинно, придётся съесть.

Если говорящий лжец, то высказывание "Я рыцарь" - ложно.
Высказывание "ложь -- > А" всегда истинно, независимо от того, какое А.
"Если я рыцарь, то съем собственную шляпу" - истинно, что для лжеца невозможно.

Итак, говорящий - рыцарь и ему придётся съесть шляпу.

4. Высказывание "А эквивалентно В" (эквиваленция) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны.

Если говорящий лжец, то всё высказывание целиком ложно.
A~B ложно тогда и только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.
Т. к. "Я рыцарь" - ложно, то "сокровища есть" - истинно.

Если говорящий рыцарь, то всё высказывание целиком истинно.
A~B истинно.
Т. к. "Я рыцарь" - истинно, то "сокровища есть" - истинно.

Сокровища есть, говорящий - может быть и рыцарем, и лжецом