Помогите олимпиадная математика
Для положительных действительных чисел x, y, z, удовлетворяющих условию 0 < x, y, z < 2, найдите наибольшее значение, которое может принимать следующее выражение:
(2x − yz)(2y − zx)(2z − xy)
там ответ 1, но нужно объяснение
Навскидку я бы попробовал рассудить так: так как любое положительное число больше неположительного, то логично искать максимум при тех значениях множителей, которые в итоге дадут положительное произведение. Когда это может произойти? В двух случаях: либо два неких множителя отрицательны, а третий положителен, либо же все три множителя положительны.
Рассмотрим сперва первый случай: пусть, например, 2x-yz<0, 2y-zx<0, причём 2z-xy>0.
Суммируя первые два неравенства получим: 2x+2y-yz-xz<0, откуда имеем
2(x+y)-z(x+y)<0; (x+y)(2-z)<0.
Однако мы получили противоречие, так как x+y>0 и 2-z>0. Значит, нужно рассмотреть лишь один случай: все множители положительны.
Произведение трёх положительных множителей будет наибольшим лишь тогда, когда эти множители равны между собой, т.е.
2x-yz=2y-xz=2z-xy
Отсюда имеем x=y=z, т.е. произведение примет вид
(2x-x^2)^3 = (1-(x-1)^2)^3
Полученное выражение будет наибольшим, если (x-1)^2 будет наименьшим, т.е. при x=1.
скобки попробуй везде раскрыть и сократить потом всё, может решишь
