Помогите решить двойной интеграл пожалуйста

Дано:

• Верхняя поверхность: z=x+y

• Нижняя поверхность: z=0

• Ограничение: x2+y2<4 (круг радиуса 2)

• Дополнительное условие: y−x>0 или y>x

Решение:

1. Область интегрирования D - это часть круга радиуса 2, лежащая выше прямой y=x.

2. В полярных координатах:

• x=rcosϕ

• y=rsinϕ

• x2+y2=r2

• y>x соответствует tanϕ>1, то есть ϕ∈(4π​,45π​)

1. Функция под интегралом: f(x,y)=x+y=r(cosϕ+sinϕ)

2. Якобиан преобразования: r

3. Объем вычисляется по формуле:

V=D∬​(x+y)dxdy=∫4π​45π​​∫02​r(rcosϕ+rsinϕ)drdϕ

1. Вычисляем внутренний интеграл:

∫02​r2(cosϕ+sinϕ)dr=38​(cosϕ+sinϕ)

1. Вычисляем внешний интеграл:

V=38​∫4π​45π​​(cosϕ+sinϕ)dϕ=38​[sinϕ−cosϕ]4π​45π​​=38​⋅22​=3162​​

Ответ: объем области равен 3162​​ кубических единиц.