Помогите, пожалуйста, хотя бы с чем-то, очень надо 🙏🙏🙏

Да. Вашей системе подмножеств принадлежит и объединение, и пересечение любых её подмножеств, а также пустое множество и само Х.

Определения. Замыканием множества называется множество всех точек прикосновения. Любая окрестность точки прикосновения множества пересекается с самим множеством. Доказательство. Пересечением замкнутых множеств, содержащих все точки множества М, будет наименьшее из них, оно есть М вместе со всеми своими точками прикосновения, потому что замкнутому множеству принадлежат все его точки прикосновения, а это потому, что они не принадлежат его дополнению — открытому множеству (множество называется замкнутым, если его дополнение открыто).

Да, метрика. ρ(x,y) является метрикой, если выполняются аксиомы тождества, треугольника и симметрии.
Аксиома тождества: |arctg(x)—arctg(y)|=0 <=> x=y ? Да, потому что -π/2<arctg(x)<π/2 для -∞<x<∞, функция плавно возрастает (важно, что без точек разрыва).
Аксиома треугольника: |arctg(x)—arctg(y)| + |arctg(y)—arctg(z)| ≥ |arctg(x)—arctg(z)|? Да, потому что arctg всюду возрастающая (важно, что не меняет знак первой производной), и будет строгое неравенство, потому что arctg нелинейная.
Аксиома симметрии |arctg(x)—arctg(y)|=|arctg(y)—arctg(x)| выполняется по определению функции модуля.

Радиус — это половина расстояния между наиболее удалёнными точками шара. Для любой точки x внутреннего шара найдётся такая точка y внешнего шара такая, что |x—y|>|x—x‵|, где x‵ — любая другая точка внутреннего шара. А значит, радиус внешнего шара больше, потому что x и x‵ могут быть наиболее удалёнными друг от друга. В условиях задачи вложение строгое, а неравенство — нет, потому что шар B₂ может быть замыканием шара B₁.