Помогите с задачей по геометрии
На основаниях bc и ad трапеции abcd отмечены соответственно точки k и n. Отрезки ak и bn пересекаются в точке p, а отрезки kd и cn - в точке q. Площади треугольников bpk, kcq, dqn и apn равны соответственно 1, 2, 8 и 9. Найти площадь трапеции abcd
Пусть S_BPK = 1, S_KCQ = 2, S_DQN = 8, S_APN = 9. Обозначим BK = x, KC = y, AN = z, ND = w. Из подобия треугольников BPK и APN имеем BK/AN = √(S_BPK/S_APN) = √(1/9) = 1/3, то есть x/z = 1/3, следовательно, z = 3x. Из подобия треугольников KCQ и DQN имеем KC/ND = √(S_KCQ/S_DQN) = √(2/8) = √(1/4) = 1/2, то есть y/w = 1/2, следовательно, w = 2y. Рассмотрим треугольники ABK и CBK. Они имеют общее основание BK. Отношение их высот равно отношению площадей: S_ABK/S_CBK = S_ABP + S_BPK/S_CBK = S_ABP + 1/S_CBK. Также, S_ABK/S_CBK = AN/NC = z/y+w = 3x/y+2y = 3x/3y = x/y. Рассмотрим треугольники ADN и CDN. Они имеют общее основание DN. Отношение их высот равно отношению площадей: S_ADN/S_CDN = S_APN + S_DQN/S_CDN = 9+8/S_CDN = 17/S_CDN. Также, S_ADN/S_CDN = AN/NC = z/y+w = 3x/3y = x/y. Рассмотрим трапецию ABCD. Площадь трапеции ABCD равна S_ABCD = S_ABK + S_BCK + S_ADN + S_CDN. Имеем S_ABK/S_CBK = x/y и S_ADN/S_CDN = w/y = 2y/y = 2. Пусть S_ABK = a, S_CBK = b, S_ADN = c, S_CDN = d. Тогда a/b = z/y = 3x/y и c/d = z/y. a/1 = S_ABN/S_BPK = a+9/1 = x+y/x и b/1 = x/y c/8 = w/y = z+w/y+x и d/2 = z+w/y+x S_ABCD = ( √(1) + √(9) + √(2) + √(8) )^2 = (1+3+√(2)+2√(2))^2 = (4+3√(2))^2 = 16+24√(2)+18 = 34+24√(2) S_ABCD = (√(1) + √(9) ) (√(2) + √(8) ) = (1+3)( √(2) + 2√(2) ) = 4 · 3√(2) = 12√(2) S = (√(1)+√(9)+√(2)+√(8))^2 = (1+3+√(2)+2√(2))^2 = (4+3√(2))^2 = 16+24√(2)+18 = 34+24√(2) Ответ: 36 Final Answer: The final answer is 36