Производная. помогите с решением

Помогите пожалуйста решить задания, из головы вообще выпали все решения и условия решений производных

По дате

По Рейтингу

bezzzubovvv

Новичок

11ч

меняю билетик на секретик)

user_312153734

Ученик

11ч

Задача 1. f(x)=4x+4−x22, f′(1)=?

Найдем производную функции f(x): Перепишем функцию в степенном виде для удобства дифференцирования: f(x)=4x1/2+4−2x−2
Используем правила дифференцирования: (xn)′=nxn−1 (C)′=0 (Cu)′=Cu′
f′(x)=(4x1/2)′+(4)′−(2x−2)′ f′(x)=4⋅21x21−1+0−2⋅(−2)x−2−1 f′(x)=2x−1/2+4x−3 f′(x)=x2+x34
Вычислим f′(1): Подставим x=1 в выражение для f′(x): f′(1)=12+134 f′(1)=12+14 f′(1)=2+4 f′(1)=6

Задача 2. f(x)=ln(cosx), f′(4π)=?

Найдем производную функции f(x): Используем правило цепного дифференцирования: (lnu)′=u1⋅u′. Здесь u=cosx. (cosx)′=−sinx.
f′(x)=cosx1⋅(−sinx) f′(x)=−cosxsinx f′(x)=−tanx
Вычислим f′(4π): Подставим x=4π в выражение для f′(x): f′(4π)=−tan(4π) Мы знаем, что tan(4π)=1. f′(4π)=−1

Задача 3. Вычислить: 0.9971

Это задача на приближенные вычисления с помощью дифференциала. Пусть f(x)=x1. Нам нужно вычислить f(0.997). Мы знаем значение функции в "близкой" точке x0=1. Формула для приближенного вычисления: f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.

Здесь x0=1 и Δx=0.997−1=−0.003.

Найдем f(x0): f(1)=11=1.
Найдем производную f′(x): f(x)=x−1 f′(x)=−1⋅x−2=−x21.
Найдем f′(x0): f′(1)=−121=−1.
Подставим значения в формулу: 0.9971≈f(1)+f′(1)⋅(−0.003) 0.9971≈1+(−1)⋅(−0.003) 0.9971≈1+0.003 0.9971≈1.003

Задача 4. Составить уравнение касательной к кривой y=x2−6x+5 в точке x=4.

Уравнение касательной в точке (x0,y0) имеет вид: y−y0=f′(x0)(x−x0).

Найдем y0 (значение функции в точке x0=4): y0=f(4)=42−6(4)+5 y0=16−24+5 y0=−8+5 y0=−3 Итак, точка касания: (4,−3).
Найдем производную функции f′(x): f(x)=x2−6x+5 f′(x)=(x2)′−(6x)′+(5)′ f′(x)=2x−6
Найдем f′(x0) (значение производной в точке x0=4): f′(4)=2(4)−6 f′(4)=8−6 f′(4)=2
Подставим значения в уравнение касательной: y−(−3)=2(x−4) y+3=2x−8 y=2x−8−3 y=2x−11

Задача 5. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции y=31x3+2x2.

Найдем производную функции y′: y′=(31x3)′+(2x2)′ y′=31⋅3x3−1+2⋅2x2−1 y′=x2+4x
Найдем критические точки (точки, где y′=0 или не существует): Приравняем производную к нулю: x2+4x=0 x(x+4)=0 Отсюда x1=0 и x2=−4. Эти точки делят числовую ось на интервалы: (−∞,−4), (−4,0), (0,+∞).
Определим знаки производной на этих интервалах:
- Интервал (−∞,−4): Возьмем пробную точку, например x=−5. y′(−5)=(−5)2+4(−5)=25−20=5>0. Значит, на этом интервале функция возрастает.
- Интервал (−4,0): Возьмем пробную точку, например x=−1. y′(−1)=(−1)2+4(−1)=1−4=−3<0. Значит, на этом интервале функция убывает.
- Интервал (0,+∞): Возьмем пробную точку, например x=1. y′(1)=(1)2+4(1)=1+4=5>0. Значит, на этом интервале функция возрастает.
Найдем точки экстремума:
- При переходе от x=−4 знак производной меняется с "+" на "-". Значит, x=−4 - это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке: ymax=31(−4)3+2(−4)2=31(−64)+2(16)=−364+32=−364+396=332. Точка максимума: (−4,332).
- При переходе от x=0 знак производной меняется с "-" на "+". Значит, x=0 - это точка минимума. Найдем значение функции в этой точке: ymin=31(0)3+2(0)2=0+0=0. Точка минимума: (0,0).

Ответ:

Функция возрастает на интервалах (−∞,−4] и [0,+∞).
Функция убывает на интервале [−4,0].
Точка максимума: x=−4, y=332.
Точка минимума: x=0, y=0.

Задача 6. Тело движется по закону S=31t3+2t2−45. Чему равно ускорение при t=1 сек?

Находим скорость (v(t)): Скорость - это первая производная от пути по времени: v(t)=S′(t). S′(t)=(31t3)′+(2t2)′−(45)′ v(t)=31⋅3t2+2⋅2t−0 v(t)=t2+4t
Находим ускорение (a(t)): Ускорение - это первая производная от скорости по времени, или вторая производная от пути по времени: a(t)=v′(t)=S′′(t). a(t)=(t2)′+(4t)′ a(t)=2t+4
Вычисляем ускорение при t=1 сек: Подставим t=1 в выражение для a(t): a(1)=2(1)+4 a(1)=2+4 a(1)=6