Помогите с олимпиадной задачей по математике
Множество A состоит из n различных натуральных чисел, сумма которых равна n^2 . Множество B также состоит из n различных натуральных чисел, сумма которых равна n^2 . Докажите, что найдётся число, которое принадлежит как множеству A, так и множеству B.
Решение.
Предположим противное: множества A и B не пересекаются. Тогда их объединение содержит 2n различных натуральных чисел. Следовательно, сумма S всех элементов объединения множеств A и B будет не меньше суммы 1 + 2 + . . . + + 2n = n(2n + 1).
ПОЧЕМУ ЭТО ТАК? Почему сумма S всех элементов объединения множеств A и B будет не меньше суммы 1 + 2 + . . . + + 2n = n(2n + 1)???
Ведь по логике сумма должна быть меньше
"Больше или равно" и "не меньше" - это одно и то же.
Всего в A и B - 2n чисел.
Положим, что A и B не пересекаются.
Значит C = A U B - множество из 2n натуральных чисел
Наименьшая сумма 2n натуральных чисел - сумма первых 2n чисел: 1 + 2 + 3 + ... + 2n.
Она равна (1 + 2n) 2n / 2 = n(2n + 1) = 2(n^2) + n
По условию задачи: сумма элементов A = n^2, сумма элементов B = n^2
Значит, сумма элементов C, если A и B не пересекаются = 2(n^2)
Имеем: C - множество из 2n натуральных чисел, сумма его элементов - 2(n^2)
Наименьшая сумма элементов множества из 2n натуральных чисел - 2(n^2) + n
Сумма элементов множества C меньше наименьшей возможной на d = 2(n^2) + n - 2(n^2)= n, где n - натуральное число
Наименьшая сумма - такая, что любая существующая сумма больше или равна ей. Это эквивалентно тому, что d <= 0. Так как d = n, а n - натуральное, это невозможно. Пришли к противоречию, значит A и B - пересекаются, чтд
ну и какой ты олимпиец после подсказок?...
