Помогите решить задачу на питон

Отличная задача! Она проверяет умение работать с битовыми представлениями чисел. Давайте разберем логику решения шаг за шагом.

Анализ проблемы

1. Коробки: У нас есть коробки с 2^0=1, 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, ... футболками. Это значит, что любой набор коробок соответствует какому-то набору степеней двойки.

2. Цель: Собрать такой набор коробок, чтобы можно было составить любое суммарное количество футболок.

3. Суммарное количество: Мы не знаем точное количество футболок для каждого ученика, но знаем диапазон [a_i, b_i]. Это означает, что общее количество футболок, которое нам может понадобиться, лежит в диапазоне от sum(a_i) до sum(b_i).

4. Сведение задачи: Задача сводится к следующему: "Какое минимальное количество коробок (степеней двойки) нужно взять, чтобы можно было сформировать любое целое число X в диапазоне [L, R], где L = sum(a_i) и R = sum(b_i)?"

Ключевая идея: Биты и диапазоны

Чтобы сформировать любое число X с помощью степеней двойки, нам нужны коробки, соответствующие единичным битам в его двоичном представлении. Например, для числа 13 (двоичное 1101) нужны коробки 8, 4 и 1.

Нам нужно найти такой набор коробок, который является "супермножеством" для всех возможных требуемых наборов. То есть, мы ищем количество уникальных степеней двойки (бит), которые встречаются хотя бы в одном числе в диапазоне [L, R].

Алгоритм решения

1. Вычисляем общий диапазон:

   • Считаем L = sum(a_i) — минимально возможное общее количество футболок.

   • Считаем R = sum(b_i) — максимально возможное общее количество футболок.

2. Анализируем диапазон [L, R]:

   • Простой случай: Если L == R, нам нужно сформировать только одно конкретное число. Ответ — это количество единиц в двоичном представлении числа L.

   • Основной случай (L < R): Нам нужно найти количество бит, которые "зажигаются" хотя бы раз для чисел в диапазоне [L, R].

     • Рассмотрим двоичные представления L и R. Найдем самый старший бит, в котором они отличаются. Пусть это бит с номером p.

     • Нижние биты (от 0 до p): Поскольку мы можем пройти от L до R с шагом 1, мы обязательно пересечем границу, где все биты младше p меняются (например, переход от ...0111 к ...1000). Это означает, что нам понадобятся все коробки для степеней двойки от 2^0 до 2^p. Их количество равно p + 1.

     • Старшие биты (выше p): Эти биты образуют "общий префикс" для всех чисел в диапазоне. Мы должны взять коробки, соответствующие всем единичным битам в этом общем префиксе. Общий префикс — это биты, которые равны 1 и у L, и у R (и находятся выше p).

   Как это посчитать эффективно?

   1. Находим число, в котором единицы стоят на всех позициях, где L и R отличаются: diff = L ^ R (операция XOR).

   2. Количество "нижних" бит, которые нам понадобятся, равно длине двоичного представления diff. В Python это diff.bit_length(). Это и есть p + 1 из рассуждений выше.

   3. Находим "общий префикс". Это биты, которые равны 1 и в L, и в R. Это можно найти с помощью L & R. Но нам нужны только те биты, что старше p.

   4. Проще объединить эти два шага. Оказывается, итоговый набор бит — это объединение бит, необходимых для "нижней" части, и бит, необходимых для "верхней" части.

   Итоговая формула:

   • num_lower_bits = (L ^ R).bit_length()

   • upper_bits_mask = ~((1 << num_lower_bits) - 1)

   • num_upper_bits = ((L | R) & upper_bits_mask).bit_count()

   • Result = num_lower_bits + num_upper_bits

Код на Python

Вот реализация этого алгоритма. Код использует int.bit_count(), доступный в Python 3.10+, для подсчета бит. Если у вас более ранняя версия, можно использовать bin(x).count('1').

import sys

def solve():
    """
    Основная функция для решения задачи.
    """
    try:
        # Читаем количество учеников
        n_str = sys.stdin.readline()
        if not n_str:
            return
        n = int(n_str)
    except (IOError, ValueError):
        # Обработка пустого ввода или ошибок
        return

    min_total = 0
    max_total = 0

    # Считаем суммарные минимальные и максимальные границы
    for _ in range(n):
        try:
            a, b = map(int, sys.stdin.readline().split())
            min_total += a
            max_total += b
        except (IOError, ValueError):
            continue
            
    L = min_total
    R = max_total
    
    # Случай 1: Диапазон состоит из одного числа
    if L == R:
        # Ответ - количество установленных бит в этом числе
        # int.bit_count() доступен в Python 3.10+
        if hasattr(int, 'bit_count'):
            print(L.bit_count())
        else:
            print(bin(L).count('1'))
        return

    # Случай 2: Диапазон [L, R]
    # Находим самый старший бит, в котором L и R отличаются.
    # Все биты ниже него могут принимать любое значение.
    diff = L ^ R
    
    # Количество "нижних" бит, которые нам понадобятся.
    # Это количество коробок для степеней от 2^0 до 2^p, где p - номер старшего бита в diff.
    num_lower_bits = diff.bit_length()
    
    # Теперь ищем биты, которые нужны для "верхней" части.
    # Это биты, которые установлены в L или R и находятся выше самого старшего бита разницы.
    
    # Создаем маску, чтобы обнулить все "нижние" биты.
    # (1 << num_lower_bits) - это 1 с num_lower_bits нулями (например, 10000)
    # Вычитание 1 дает num_lower_bits единиц (01111)
    # Инверсия (~) дает маску вида ...11110000
    mask_for_upper_bits = ~((1 << num_lower_bits) - 1)
    
    # Применяем маску к (L | R), чтобы оставить только старшие биты, которые есть или в L, или в R.
    upper_bits_needed = (L | R) & mask_for_upper_bits
    
    # Считаем количество установленных старших бит.
    if hasattr(int, 'bit_count'):
        num_upper_bits = upper_bits_needed.bit_count()
    else:
        num_upper_bits = bin(upper_bits_needed).count('1')
        
    # Итоговый ответ - сумма коробок для нижней и верхней частей.
    total_boxes = num_lower_bits + num_upper_bits
    print(total_boxes)

# Запускаем решение
solve()