Сириус геометрия 8 класс

Заполните пропуски в тексте, чтобы получилось правильное решение.

Задача. Внутри правильного треугольника отметили точку с расстояниями до вершин, равными 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

Решение. Предположим, что внутри правильного треугольника ABC отмечена такая точка P, что PA=3, PB=4, PC=5. Пусть при повороте относительно точки A на 60∘ точка B переходит в точку C, точка C переходит в точку C1, а точка P — в точку P1. Тогда треугольник PAP1 является

Выбрать

и его площадь равна ⋅3–√. Отрезок CP1 получается поворотом из отрезка

Выбрать

, поэтому у треугольника PCP1 стороны равны 3, 4 и 5. Следовательно, по теореме Пифагора треугольник PCP1 является прямоугольным и его площадь равна . С другой стороны,⋅3–√+=SPAP1+SPCP1=SAPC+SAP1C=SAPC+ 

Выбрать

.Аналогичными рассуждениями, рассматривая повороты на 60∘ с центрами в точках B и C, получаем равенства⋅3–√+=SBPA+SCPBи⋅3–√+=SCPB+SAPC.Складывая все три полученных равенства и деля пополам, заключаем, чтоSABC=⋅3–√+.