Сириус геометрия 8 класс

Заполните пропуски в тексте так, чтобы получилось правильное решение.

Задача. Точки E и F — середины сторон BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении.

Решение. Случай, когда ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, очевиден (в этом случае EF∥AB и утверждение следует из теоремы Фалеса). Поэтому, не умаляя общности, можно считать, что прямые EF и AB пересекаются. Обозначим их точку пересечения через X.Точки пересечения отрезка EF с диагоналями AC и BD обозначим через M и N соответственно. Запишем теорему

Выбрать

для треугольника

Выбрать

и

Выбрать

1=AFFD⋅DNNB⋅ 

Выбрать

и, учтя, что AF=FD, получим, чтоBNND= 

Выбрать

.Аналогично, используя теорему

Выбрать

для треугольника

Выбрать

и

Выбрать

, находим, чтоCMAM= 

Выбрать

,откудаBNND= 

Выбрать

.