Сириус геометрия 8 класс

Заполните пропуски в тексте так, чтобы получилось правильное решение.

Задача. В треугольник ABC вписана полуокружность, диаметр которой лежит на стороне BC. Стороны AB и AC касаются полуокружности в точках C1 и B1 соответственно. Докажите, что прямые BB1 и CC1 пересекаются на высоте треугольника.

Решение. Пусть A1 — основание высоты из вершины A. Для доказательства того, что чевианы AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, проверим соотношение из обратной теоремы Чевы.Поскольку треугольник остроугольный и все три основания чевиан лежат на сторонах, для этого требуется проверить соотношение

AB1B1C⋅BC1C1A⋅CA1A1B=1.

Отрезки

Выбрать

равны как отрезки касательных к окружности. Поэтому достаточно проверить равенство

Выбрать

.

Обозначим через O центр полуокружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому треугольники

Выбрать

являются прямоугольными с общим острым углом

Выбрать

и, следовательно, подобными. По свойствам подобных треугольников,

BC1BA1= 

Выбрать

.

Аналогично из подобия треугольников

Выбрать

получаем равенство

CB1CA1= 

Выбрать

.

Поскольку B1O=C1O как радиусы полуокружности, отсюда получаем требуемое соотношение.