Задача по геметриии за 7 класс
Повторяю материал за 7-9 класс и не могу решить задачу по геометрии из задачника гордина 7-9 класс. Помогите пажалуйста
Решение такое:
C-вершина угла.
O- центр окружности.
Проводишь радиусы в точки касания, они перпендикулярны сторонам угла. Получаешь квадрат OBCA.
AC=BC=R.
P∆=2AC=2R.
Как доказать ваше равенство? В ответ подсмотреть можно, но мне нужно решение.
Ваше решение не доказано, значит и не может считаться решением. Чтобы утверждать, что оно правильно, докажите это.
Касательные по условию пересекаются под прямым углом, радиус перпендикулярен к касательной в точке касания, поэтому четырёхугольник AOBD - квадрат со сторонами, равными R. Если касательные выходят из одной точки, то расстояния от этой точки до точек касания равны. Поэтому |BF|=|CF| и |AE|=|CE|. Обозначим |BF| через Х, |AE| - через Y. Тогда |DF|=R-X, |DE|=R-Y, |EF|=X+Y
Периметр треугольника DEF P=R-X+R-Y+X+Y=2R
Пусть О – вершина прямого угла, его стороны совпадают с осями OX и OY, а окружность радиуса r имеет центр C(r , r).
Точки касания со сторонами угла
A(0 , r) и B(r , 0).
1. Координаты произвольной точки P на меньшей дуге AB
P = C + r( cos φ , sin φ ), φ∈[π , 3π/2].
2. Касательная в P
радиусу CP соответствует наклон k = tan φ,
=> наклон касательной m = –cot φ = –cos φ / sin φ.
Уравнение касательной:
y – yP = m(x – xP).
Её пересечения со сторонами угла:
Q(x–перех. на OX), R(y–перех. на OY)
xQ = xP – yP/m , yR = yP – m·xP.
После подстановки xP = r(1+cos φ), yP = r(1+sin φ) получаем
xQ = r[1+cos φ + (1+sin φ)tan φ],
yR = r[1+sin φ + (1+cos φ)cot φ].
3. Обозначим a = OQ = xQ, b = OR = yR, c = QR = √(a²+b²).
Треугольник OQR прямоугольный (катеты лежат на осях).
Окружность радиуса r является его вписанной: она касается
катетов в A и B, а гипотенузы – в P.
Для прямого треугольника с катетами a,b и вписанным радиусом r
из условия касания гипотенузы имеем расстояние от C(r , r) до
прямой QR равно r. Прямая QR задаётся уравнением x/a + y/b = 1,
поэтому
|r/a + r/b – 1| / √(1/a²+1/b²) = r.
После упрощений (умножение, возведение в квадрат) получается
ab = 2r(a + b) – 2r². (1)
Введём безразмерные величины x = a/r, y = b/r.
Тогда (1) даёт
xy = 2(x + y) – 2 ⇔ (x–2)(y–2) = 2. (2)
4. Периметр треугольника
PΔ = a + b + c = r[ x + y + √(x² + y²) ].
Докажем, что выражение в скобках постоянно.
Пусть s = x + y. Из (2) имеем xy = 2s – 2.
Теперь
x² + y² = (x + y)² – 2xy = s² – 2(2s – 2)
= s² – 4s + 4 = (2 – s)².
Следовательно √(x² + y²) = 2 – s (положительное, т.к. s<2).
Тогда
x + y + √(x² + y²) = s + (2 – s) = 2.
Итак
PΔ = r · 2 = 2r, независимо от выбора точки P.
Я нашел ответ через } RawMind AI :
Конечно, я помогу вам разобраться с задачей по геометрии. Для начала, мне нужно знать конкретную задачу или тип задачи, который вас интересует. Например:
Задача на вычисление площади или периметра фигур.
2. Задача на свойства и теоремы о треугольниках, четырехугольниках.
3. Задача с использованием подобия фигур.
4. Задача на окружности и их свойства.
Пожалуйста, уточните задачу или опишите её условия, чтобы я мог помочь вам более точно.
На скрине все указано.