Докажите, что множество целочисленных решений уравнения \(x^2 + y^2 = z^2\) с \(x, y, z > 0\) бесконечно
Пусть z^2 - y^2 = (z-y)(z+y) = 2k+1
Подбираем решение (z-y)= 1 и (z+y)=2k+1
2z = 2k+2, z = k+1, y = k
(k+1)^2 -k^2 = 2k+1
То есть получается, что любое нечётное число можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел, а так как квадрат нечетного числа тоже нечетное число, то это означает, что уравнение x^2 = z^2-y^2 имеет бесконечное множество целочисленных решений 😊
Пример:
(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1
Для x^2 = a^2, y^2 = 2a + 1 равенство истинно при z^2 = (a + 1)^2.
Следовательно, нам достаточно найти нечетные квадраты в качестве значения y^2.
Например, y = 3; y^2 = 9 = 2 * 4 + 1. Здесь a = 4, то есть x = 4, x^2 = 16.
x^2 + y^2 = z^2
16 + 9 = 25
x = 4; y = 3; z = 5
Еще один пример - y = 5; y^2 = 25 = 2 * 12 + 1. Здесь a = 12, то есть x = 12, x^2 = 144.
144 + 25 = 169
x = 12; y = 5; z = 13
И так далее, для любых нечетных натуральных y > 1.
(Для y = 1 имеем x = 0 - не натуральное число)
А таких чисел бесконечно много.
Следовательно, множество решений уравнения бесконечно велико.
ии в помощ